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question sur les égaltés remarquables
salut à tous
Je bloque sur cet exo depuis le début du week end
SVP j'ai besoin de votre aide
voici l'exo
A partir de l'égalité remarquable:
(a+1)au cube= a au cube+3a carré+3a + 1
et en donnant à a toutes les valeurs de 1 à n, écrire n égalités, les additionner toutes puis après simplifications et factorisations, montrer que
1 au carré+2 au carré+3 au carré + 4 aucarré+n au carré=n(n+1)(2n+1)/6
MONtrer de même avec
1 au cube+ 2 au cube+3aucube+4 au cube+nau cube=(n(n+1)/2)le tout au carré
Bonjour,Tomasson.
a=1 (2)³=1+3+3+1.
a=2 (3)³=2³+3.2²+3.2+1.
a=3 (4)³=3³+3.3²+3.3+1.
a=4 (5)³=4³+3.4²+3.4+1
.
.
a=n (n+1)=n³+3.n²+3.n+1.
la somme des 1ers membres est A=2³+3³+...+(n+1)³.
si on additionne tous les termes des 2ème membres on aura:
A=1+2³+3³+4³+...n³+3(1+2²+3²+...n²)+3(1+2+3+...+n)+1.n. (1)
On sait que 1+2+3+...+n=n(n+1)/2.
1+2³+........+n³=1+A-(n+1)³. (1) devient :
A=1+A-(n+1)³+3(1+2²+3²+...+n²)+3.n(n+1)/2+n.
ou 0=1-(n+1)³+3(1+2²+3²+...+n²)+3n(n+1)/2+n.
d'où 3(1+2²+...+n²)=(n+1)³-3n(n+1)/2 +n-1=... j'ai dû me tromper!
......Vérifie et termine!...
bpnjour
pouvez vous faire le calcul ss erreurs
cela sera plus facile a comprendre pour moi merci d'avance
23+33+....+(n+1)3 = 13 + 3*1² + 3*1 + 1 + 23 + 3*2² + 3* + 1 + ..... + n3 + 3*n² + 3*n + 1.
= (13+23+...+n3) + 3 * (1²+2²+...+n²) + 3*(1+2+...+n) + 1*n
L'égalité se transforme alors en :
(n+1)3 = 13 + 3 * (1²+2²+...+n²) + 3*(1+2+...+n) + 1*n
(1+2+...+n) = n*(n+1)/2
d'où
(n+1)3 = 13 + 3 * (1²+2²+...+n²) + (3/2) * n (n+1) + n
(n+1)3 = 3 * (1²+2²+...+n²) + (3/2) * n (n+1) + (n+1)
d'où (n+1)3 - (3/2) * n (n+1) - (n+1)= 3 * (1²+2²+...+n²)
1/3 [(n+1)3 - (3/2) * n (n+1) - (n+1)]= (1²+2²+...+n²)
(1²+2²+...+n²) = 1/3 (n+1)[(n+1)² - (3/2) * n - 1]
(1²+2²+...+n²) = 1/3 (n+1)[n²+2n + 1 - (3/2) * n - 1]
(1²+2²+...+n²) = 1/3 (n+1)[n²+(1/2)n]
(1²+2²+...+n²) = 1/3 n(n+1)[n+(1/2)]
(1²+2²+...+n²) = 1/6 n(n+1)(2n+1)
salut
et bien on part de (n+1)^4=n^4+4n+6n²+4n^3+1
2^4=1^4+4*1+6*1²+4*1^3+1
...
(n+1)^4=n^4+4n+6n²+4n^3+1
on fait la somme :
2^4+...+(n+1)^4=(1^4+...+n^4) +4*[1+...+n] +6*[1²+...+n²]+4*[1^3+...+n^3] + n*1
on a donc [(n+1)^4 - 1^4 -4*[1+...+n] -6*[1²+...+n²] - n]/4=1^3+...+n^3
1+...+n=n*(n+1)/2
1²+...+n²=n*(n+1)*(2n+1)/6
on a donc 1^3+...+n^3=[(n+1)^4 - (n+1) -2*n*(n+1) -n*(n+1)*(2n+1)]/4
on factorise par (n+1) :
1^3+...+n^3=(n+1)*[(n+1)^3 -1 -2n -n*(2n+1)]/4
1^3+...+n^3=(n+1)*[(n+1)^3 -(1+2n)-n*(2n+1)]/4
1^3+...+n^3=(n+1)*[(n+1)^3 -(n+1)*(2n+1)]/4
1^3+...+n^3=(n+1)²*[(n+1)²-(2n+1)]/4
et (n+1)²-(2n+1)=n²+2n+1-2n-1=n²
1^3+...+n^3=(n+1)²*n²/4=[n*(n+1)/2]²
et on peut continuer ainsi de suite...
pour 1^4+...+n^4= ???
on se servira de (1+n)^5=... et des resultats precedents.
pareil pour 1^5+...+n^5=...
1^6+...+n^6=...
on peut ainsi calculer 1^k+...+n^k pour k dans N
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