Il doit suffire de revenir à la définition (que je ne connais pas ).
Si tu me donnes la déf de nilpotent on peut regarder à deux.

y est nilpotent s'il existe un entier naturel non nul tel que y^n=0

Soit y nilpotent alors il existe un entier naturel n tel que y^n=0.
(-y)^n=((-1)^n)y^n=(-1)^n*0=0 donc -y est nilpotent.
Qu'en penses-tu ?

(-1) n'existe pas, dans un anneau quelconque on ne saurait pas de quoi tu parles...
Je pensais utiliser que (-y) est le symetrique de y pour l'addition, non?

svp personne ??

Bonsoir Djeffrey et Samourai;
Soit un anneau commutatif (non nécéssairement unitaire).
Comme l'a bien expliqué Djeffrey un élément de est dit nilpotent s'il existe tel que
Pour et on définit:

Il est assez facile de voir que les propriétés suivantes sont vérifiées:


L'écriture ne signifie pas que est unitaire car le ici est l'élément unité de et non celui de .
Ainsi l'écriture a un sens dans l'anneau et on a plus précisément:
.
Une petite récurrence donnerait que:

Si est nilpotent on peut écrire:

donc à mon avis ce qu'a écrit Samourai n'était pas faux.
remarque:
Il me semble que c'est vrai mm si A n'est pas commutatif.
Sauf erreur bien entendu

Je ne vois pas pourquoi -1 n'existerait pas.
C'est le symétrique de 1, et comme un anneau est un groupe additif, -1 existe, donc....

Ensuite 1 commute avec tout élément, donc -1 aussi (*), donc
(-y)^n=(-1)^ny^n.

(*) En effet (1+(-1))y=0 pour tout y
(1+(-1))y=y+(-1)y=0
y(1+(-1))=0=y+y(-1)=0
on a donc y(-1)=(-1)y ce qui est commode, parce que c'est également ce que l'on appelle -y ...

Sauf erreur.
A+

Bonsoir otto;
je crois que Djeffrey a considéré un anneau où la seconde loi n'a pas nécéssairement un élément neutre comme c'est le cas par exemple pour l'anneau
Sauf erreur...

Merci à elhor et otto d'avoir éclairci la chose. En effet comme je ne connaissais pas le contexte exacte, j'y suis allé au feeling.

Bonjour elhor_abdelali, dans ce cas on a pas un anneau.
Je considère qu'un anneau est unitaire en général (unifère?).
Auquel cas 2Z serait plutôt un idéal de Z qu'un anneau véritablement...
Celà étant, on aurait quand même la propriété cherchée,
sauf erreur(s).
A+