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Question sur non injectif=>non surjectif en dim finie
BJ ,
Soit f une application de E dans F. Avec E et F deux espaces vectoriels de dimension FINIE.
si on montre que c'est pas injectif, est ce que ça prouve aussi que ce n'est pas surjectif.
Car si f n'est pas injective , ça veut dire qu'il y a au moins une image qui contient plus que un antécédent. Et donc je me demandais si cela n'entraînait pas le fait qu'ils puissent y'avoir des éléments d'arrivée de F qui ne contiennent aucun antécédents. Et que donc , il n'y aurait pas surjectivité.
Mais comme il y a une infinité d'éléments dans l'ensemble d'arrivée F , et ben ça remet tout en doute. Je ne sais plus trop quoi penser.
Soit un espace vectoriel de dimension
,
et
deux sous-espaces supplémentaires dans
tel que
soit un hyperplan. Que penses-tu de la projection vectorielle de
sur
suivant
? Est-elle surjective ? injective ? Conclure !
A +
Bien entendu, je me focalise sur les endomorphismes d'espaces vectoriels car ta question fait naturellement suite à ce post-ci 
endo bijectif ?.
A +
Ouais mais bon , cet application "projection vectorielle" là , c'est une application de R^3 dans R^2 ? (j'ai choisi n=3 et donc H un plan)
Soient et
des espaces vectoriels de même dimension finie. Soit
.
Si est surjective, alors
est injective. Donc : si
est non injective, alors
est non surjective.
Ouais donc du coup ma projection vectorielle p si je la défini de R^3 dans R^3.
Bon je pose une condition sur F et G. F={(x,y,z)|x+y=0} et G={(x,y,z)|x=y=z}.. Et donc tous les éléments v de F sont de la forme
du coup p:=(x,y,z)->
et cette application n'est ni injective ni surjective si je comprend bien ..
Soit ,
des espaces vectoriels de même dimension finie et
une application linéaire de
dans
. Ainsi la bijectivité de
équivaut à son injectivité ou encore à sa surjectivité.
La projection que je t'ai demandée de considérer le 15-05-12 à 12:54 n'est ni injective, ni surjective. En revanche, sa corestriction à l'hyperplan
est, quant à elle, surjective. Donc rien de bien probant, j'en suis désolé !
A +
Si je l'ai vu : dim im f + dim ker f = E. Mais formellement y'a aucun soucis pour l'appliquer. Mais j'arrive pas trop à voir pourquoi si dim im f <> dim E alors dim ker f <> 0. Mentalement et visuellement, j'arrive pas à le voir.
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