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qui suis je ?
Bonsoir
Je vous propose l'exercice suivant , 
Je suis un entier qui possède 8 diviseurs et dont le produit de ces derniers vaut 37015056 , qui suis je ?
Cliquez pour afficherClassons les 8 diviseurs dans l'ordre a,b,c,d,e,f,g,h
Forcément, a=1, et h est le nombre cherché.
ah=bg=cf=de
et donc h^4=37015056.
Bonne nouvelle, ce nombre est bien une puissance quatrième
bravo à tous , on a aussi une relation qu'on peut retrouver facilement
si N est l'entier cherché , m le nombre de ses diviseurs et P le produit de ces derniers alors Nm = P²
Une explication détaillée quand même, pour les gens du futur.
Pour tout n entier naturel, il existe une unique décomposition en facteurs premiers telle que
et
. Notons
pour alléger un peu.
Le nombre de diviseurs de n est . Comme 2 est un nombre premier il n'y a pas le choix, tous les
valent 2 et il y en a exactement 3. C'est à dire que n est le produit de
nombres premiers distincts.
Si n = pqr, on peut énumérer tous les diviseurs de n : 1, p, q, r, pq, qr, pr, pqr. Et donc leur produit qui est .
Et comme par ailleurs , on a
et
Et encore j'ai pris un petit raccourci
Si , ça veut dire (dans la mesure où les a_i sont non nuls) que
- soit m = 3 et
- soit m = 2 et et
- soit m = 1 et
On ne peut pas exclure tout de suite les deuxième et troisième cas.
Pour le troisième cas, ça donnerait n = p^7 avec p premier. Le produit de ses diviseurs serait donc p^(0+1+...+7) = p^28. Or, 37015056 n'est pas une puissance de 28.
Pour le deuxième cas, ça donnerait n = pq^3 avec p,q premiers distincts.
Le produit des diviseurs serait p^4q^6 (1, p seul ou multiplié par q,q^2,q^3, et les trois puissances de q). Mais 37015056 est une puissance de 4 et 6 n'est pas multiple de 4.
C'est plus simple que ça.
Comme je disais, et comme repris/généralisé par Flight ensuite, si a
diviseurs, le produit de ces
diviseurs est
Donc, comme on a 8 diviseurs, on prend la racine 4ème de 37015056.
Effectivement en groupant les facteurs par deux, p et n/p.
Par contre la formule est inexacte quand m est impair. C'est plutôt N^(floor((m+1)/2)). Quand m est pair ça coïncide avec m/2 et quand m est un carré parfait ça correspond à (m-1)/2 + 1. (m-1)/2 couples de deux facteurs distincts plus la racine carrée.
Ca reste vrai quand m est impair (=quand N est un carré parfait)
Exemple :
N=4
les diviseurs sont 1,2,4, donc m=3
Le produit des diviseurs est 8 et on a bien
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