bonjour Matovitch

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x = 1 + 1/x avec x > 0
x²-x-1 = 0
x est le nombre d'or
à chaque écriture de 1/1, on obtient le rapport de deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci

Bonjour PM >>

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Non.
Je ne comprend pas ton raisonnement en tout cas ce que tu écris au départ est faux :
x1+1/x
Peux tu m' expliquer ?

Il me semble bien que le raisonnement est juste si x est la limite de tes fractions.

Bon, je ne vois pas ce que vous voulez dire.
Mais le quotient continue à l'infini.
Vous pouvez essayer à 1 rang 2, 3...
Vous remarquerez que ça tend vers une valeur.

Premièrement si x est la limite des quotients que tu indiques, alors x ne devrait pas apparaitre à droite.

Ensuite, si c'est bien x=1+1/(1+1/(1+1/(...

alors x=1+1/x

Oups j'ai rien dit !

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Oui c'est correct, j'avais trouvé mais en fait c'est
Mais comment as-tu trouvé si vite ?

pourquoi ?

Bein c'est clair par la définition de x...

Calcule donc 1/x et ensuite 1+1/x

Ah oui, génial !
x = 1+1/x d'où x = 1+1/(1+1/x) etc !

Juste une dernière chose :
Comment tu sais que x > 0, c'est correct mais je ne comprend pas.

C'est très clair, tu as la limite d'une suite de termes positifs.

Bon, je ne comprend pas trop, -\phi peut convenir aussi non ?
J'aimerais avoir la totalité du raisonnement(détaillé), merci !

Bonjour.

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Je me permet de répondre.

Si je définis la suite par , alors le nombre que l'on recherche est la limite (éventuelle) de cette suite.

vérifie donc , équation dont les solutions sont le nombre d'or et

Les termes de la suite étant tous strictement positifs, la limite ne peut être strictement négative. Le nombre d'or est donc le seul à convenir. Il ne reste plus qu'à prouver que la suite est convergente. (en effet rien n'assure à priori qu'un tel nombre x tel que tu l'as défini existe bien)

Bonjour AK et grand merci !

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Je comprend mieux le raisonnement.
En fait le x (qui est tout au fond là-bas) n'a quasiment pas d'impact.
Mais je ne comprend pourquoi tu choisis ?
______________________________________________________________

Voici comment j'ai fait (c'est pas très rigoureux).

1)Etude des cas simples :

*n c'est le "niveau"





2) Généralisation :

bref on comprend vite qu'on additionne 2 polynômes pour en avoir un troisième :

avec toujours un "petit" sur un "grand"

3)Trouver une équation finie en fonction de n :

*F_n est la suite de fibonacci (u₀=0) :




d'où

ainsi :

4) Calcul de la limite en + : solution

Les solutions sont donc :
_________________________________________________________________

Merci d'avoir suivi mon raisonnement tordu jusque là.

AK >>

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Je comprend de mieux en mieux !
Ca me genait à moi aussi, je n'ai pas compris ce que voulait dire otto.
Je repose donc l'énnoncé car ce n'était pas tout à fait ça...

Citation :
Déterminer les solutions de l'équation :

  
                            

matovitch

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Bon, je ne comprend pas trop, -\phi peut convenir aussi non ?
J'aimerais avoir la totalité du raisonnement(détaillé), merci !
Non !
Comme je te l'ai dit tu ne fais qu'intervenir des sommes et quotients de nombres positifs, ca ne peut donc pas être négatif.

Une facon rigoureuse de prouver ce que tu veux est la suivante:

f(x)=1+1/x
f est continue sur [1,+oo).
Posons
U(n+1)=f(Un)
U(1)=1

Clairement f(Un)>=1 pour tout n et puisque f est continue sur [1,oo) on doit avoir
f(L)=L où L est la limite éventuelle de la suite.
On résoud et on trouve donc ce que je t'ai annoncé.

Finalement il reste à prouver la convergence, ce qui n'est pas compliqué puisque f est décroissante sur [1,+oo).

otto >>

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Merci !
J'espère que tu n'es pas trop exaspéré(e) par mes questions incessantes.
Pourrais-tu regarder mon post de 11:10. Merci !

Si par exemple on résout : x = 1+1/(x+1) x = V2 ou -V2

ou x = 1+1/(1+1/(1+x)) x = V3 ou -V3

et x = 1+1/(1+1/(1+1/(1+x))) x = V(5/2) ou -V(5/2)

il semble que ça converge vers et .

_{ps : tu note les intervalle I = [a;+oo) alors que je note I=[a;+oo[ sans doute une différence canada-france...}

Salut,
tu trouves une condition nécessaire, elle n'est pas suffisante, tu as x=... ou x=...

Tu le dis toi même c'est l'un ou l'autre, mais il faut se décider, ça ne peut pas être les deux à la fois.

Pour ce qui est des intervalles ouverts, de plus en plus, la notation avec un crochet s'estompe, même en France.

Je ne comprend pas, l'éalité est correcte pour les 2 valeurs de x.
Mais il est certain que x ne peut prendre 2 valeurs à la fois...

Non l'égalité n'est pas correcte pour les 2 valeurs de x. Tu montres que SI tu as égalité ALORS soit x=... soit x= ...

mais tu n'as jamais montré que les deux valeurs vérifiaient l'égalité.
Preuve en est que y'en a justement une seule qui vérifie l'égalité

Bon, de toute manière j'aurais la réponse demain soir (j'ai math).
On verra bien, en tout cas : merci de votre patience !

Je ne comprend pas ce que tu ne comprends pas...

Est-ce qu'une limite d'une suite positive peut être négative ?

Tu n'as pas raisonné par équivalences mais seulement pas implications. Donc il faut regarder si ce que tu obtiens au final est solution.

Il se trouve que dans ce que tu obtiens au final, une seule solution est bonne...

Un exemple trivial de ce type de preuves:

résoudre x+1=x

alors si je multiplie par x je trouve
x(x+1)=x^2

et x=0 est une solution de cette équation (et il n'y en a pas d'autre)

Pourtant l'équation de départ n'a pas de solution.
Tu en as ajouté une, il faut vérifier si x=0 est bien une solution de l'équation de départ.
Or si c'est le cas 1=0 ce qui est clairement faux.

Oui, mais là ce qui est faux c'est que l'on multiplie par x alors que x n'existe pas.

Voici un graphe avec y=x et les autres équations de plusieurs niveaux :

Il n'y a pas de différence, tu raisonnes par analyse synthèse, mais tu oublies la synthèse.