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Racine carré de 2

Posté par
hallow1978 08-07-09 à 19:21

Bonjour,

il semblerait que quelquesoit n entier, (1+racine(2))^n peut toujours se mettre sous la forme racine(k) + racine(k+1)

Ex : 1+rac(2) = rac(1)+rac(2)
     (1+rac(2))² = rac(8)+rac(9)
    (1+rac(2))^3 = rac(49)+rac(50)
Etc...

Je n'arrive pas à expliquer pourquoi...
Quelqu'un peut-il m'aider ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Racine carré de 2 08-07-09 à 20:02

Bonjour,

(1+sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2} avec:

\{a_{n+1}=a_n+2b_n\\b_{n+1}=a_n+b_n et \{a_1=1\\b_1=1

On peut démontrer par récurrence que a_n^2-2b_n^2=(-1)^n...

Posté par
hallow1978re : Racine carré de 2 08-07-09 à 20:07

euh oui cé joli mais je voie pas trop le rapport là !!

Quelle est la relation avec le fait que k soit entier ?

Posté par
hallow1978re : Racine carré de 2 08-07-09 à 20:08

Peut-etre peux tu exprimer an et bn en fonction de n

Posté par
infophilere : Racine carré de 2 08-07-09 à 20:12

Bonjour

Ca se prouve par récurrence.

Supposons que ça soit vrai à un certain rang n, la forme développée étant a+b\sqrt{2}=\sqrt{a^2}+\sqrt{2b^2}. On a comme hypothèse de récurrence a^2=2b^2+1.

On rang suivant on a : (a+b\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=(a+2b)+(a+b)\sqrt{2}=\sqrt{(a+2b)^2}+\sqrt{2(a+b)^2}

Et 2(a+b)^2=2a^2+4ab+2b^2=a^2+4ab+4b^2+1=(a+2b)^2+1

C'est terminé

Posté par
cailloux Correcteurre : Racine carré de 2 08-07-09 à 20:16

Citation :
Peut-etre peux tu exprimer an et bn en fonction de n


Pas la peine:

Si n est pair: an^2=2b_n^2+1

et (1+sqrt{2})^n=\sqrt{2b_n^2+1}+\sqrt{2b_n^2}

Si n est impair: \sqrt{2b_n^2}=\sqrt{a_n^2+1}

et (1+sqrt{2})^n=\sqrt{a_n^2}+\sqrt{a_n^2+1}

les a_n et b_n étant des entiers.

Posté par
cailloux Correcteurre : Racine carré de 2 08-07-09 à 20:18

Bonjour Kévin

Il n' y a pas un (-1)^n qui traîne ?

D' où la distinction n pair ou impair ?

Posté par
infophilere : Racine carré de 2 08-07-09 à 20:24

Bonjour cailloux

Si, c'est implicitement dit dans ma récurrence.

Je ne l'ai pas signalé car l'important est de montrer que c'est la somme de deux racines "consécutives".

Ce sont des nombres prolifiques.

Posté par
hallow1978re : Racine carré de 2 08-07-09 à 20:41

merci cailloux

Posté par
cailloux Correcteurre : Racine carré de 2 08-07-09 à 21:32

Encore moi...

Citation :
On a comme hypothèse de récurrence a^2=2b^2+1


Plutôt a^2=2b^2+(-1)^n non ?

Posté par
infophilere : Racine carré de 2 08-07-09 à 21:39

Mon hypothèse de récurrence c'est plutôt "N^k s'écrit comme somme de 2 racines consécutives"

après je choisis arbitrairement a² = 2b²+1 et au rang suivant ça "échange" les emplacements mais ça conserve la propriété.

Posté par
cailloux Correcteurre : Racine carré de 2 08-07-09 à 21:45

Ah! comme ça, je comprends mieux!

Posté par
jandri Correcteurre : Racine carré de 2 08-07-09 à 21:56

Bonjour infophile,

Tu fais erreur; si pour N^k on a a²=2b²+1 alors pour N^(k+1) on a: a'²=2b'²-1.
La démonstration de cailloux est correcte.
D'autre part, le terme "nombre prolifique" a été inventé par le site diophante (d'après google).

Posté par
cailloux Correcteurre : Racine carré de 2 08-07-09 à 22:09

Citation :
Ah! comme ça, je comprends mieux!


Bon, alors j' avais cru comprendre

Posté par
infophilere : Racine carré de 2 08-07-09 à 22:36

Bonjour jandri

Mon hérédité ne porte pas sur la forme a²=2b²+1 mais sur la propriété "N^k s'écrit comme somme de 2 racines consécutives"

Posté par
infophilere : Racine carré de 2 08-07-09 à 23:54

Par ailleurs plus généralement ceci est vrai pour tout nombre initial de la forme N=\sqrt{a}+\sqrt{a+1}.

On peut montrer que suivant la parité de l'exposant on a soit :

- N^{2k}=p+q\sqrt{a}\sqrt{a+1} avec p^2=q^2a(a+1)
- N^{2k+1}=p'\sqrt{a}+q'\sqrt{a+1} avec q'^2(a+1)=p'^2a+1

Initialisation : N^2=(2a+1)+2\sqrt{a}\sqrt{a+1}=\sqrt{(2a+1)^2}+\sqrt{4a(a+1)} et (2a+1)^2=4a(a+1)+1.

Hérédité : Pour k pair : N^{k+1}=(p+q\sqrt{a}\sqrt{a+1})(\sqrt{a}+\sqrt{a+1})=(p+q(a+1))\sqrt{a}+(p+qa)\sqrt{a+1} avec p^2=q^2a(a+1)

On vérifie que N^{k+1} est aussi somme de deux racines consécutives :

Et en utilisant l'hypothèse p^2=q^2a(a+1) on montre après avoir déroulé les calculs que :

(p+qa)^2(a+1)=(p+q(a+1))^2a+1

Et de même en partant de k impair on retombe sur le cas pair avec toujours une somme de deux racines consécutives.

C'est assez calculatoire mais ce n'est pas dur à prouver.

Sauf erreur

Posté par
infophilere : Racine carré de 2 09-07-09 à 10:23

C'est p² = q²a(a+1)+1 bien sûr

Posté par
jandri Correcteurre : Racine carré de 2 09-07-09 à 18:02

C'est très bien infophile.
J'ai une démonstration un peu plus rapide en utilisant la formule du binôme et en considérant N'=\sqrt{a}-\sqrt{a+1}.

Posté par
infophilere : Racine carré de 2 09-07-09 à 18:06

Merci jandri.

Je suis preneur, peux-tu l'exposer ?

Posté par
jandri Correcteurre : Racine carré de 2 09-07-09 à 19:12

Pas avant la fin août car j'ai l'intention de répondre aux problèmes de l'été du site Diophante (c'est le pb A323 et j'en ai déjà trop dit!)

Posté par
infophilere : Racine carré de 2 09-07-09 à 19:19

Oui c'est de là que j'ai appris le terme "prolifique".

J'en ai peut-être trop dit également pour le site... car du coup ma généralisation s'applique au pb A323.

Mais il doit y avoir plus astucieux

Réponse fin août alors, bonne soirée !

Posté par
infophilere : Racine carré de 2 09-07-09 à 20:15

Ta remarque jandri m'a fait pensé au fait qu'on peut apporter une preuve de l'irrationnalité de \sqrt{2} en se calquant sur ce qui a été fait sur ce topic.

On a (1-\sqrt{2})^n=a_n-b_n\sqrt{2}

Supposons que \sqrt{2}=\frac{p}{q} alors ceci se réécrit :

q(1-\sqrt{2})^n=qa_n-pb_n

Le membre de gauche tend vers 0, alors que celui de droite est une suite d'entiers. (que l'on peut expliciter avec le binôme justement).

Posté par
jeansebre : Racine carré de 2 10-07-09 à 21:39

Joli corollaire, Kevin!

Posté par
infophilere : Racine carré de 2 10-07-09 à 22:05

Bonjour jeanseb !


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