Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau seconde
Partager :

Racine carrée

Posté par
Seyper
04-01-20 à 20:46

Bonjour j'ai un petit exercice à résoudre et je vous demande de l'aide. Merci d'avance

Simplifier le plus possible :
(1/√2 + √1) + (1/√3 + √2) + ... + (1/√2019 + √2018)

Posté par
Yzz
re : Racine carrée 04-01-20 à 20:51

Salut,

Précise quels sont les dénominateurs

Posté par
Seyper
re : Racine carrée 04-01-20 à 20:57

Le numérateur est le nerateur est 1
Les dénominateur sont : √2+√1 ;  √3+√2 ; √2019+√2018

Posté par
Yzz
re : Racine carrée 04-01-20 à 20:59

OK.

Prenons par exemple : 1/(√3 + √2) .
Multiplie en haut et en bas par √3 - √2.
On obtient quoi ?

Posté par
Priam
re : Racine carrée 04-01-20 à 21:01

Une idée : faire disparaître les radicaux des dénominateurs.

Posté par
Yzz
re : Racine carrée 04-01-20 à 21:04

Salut Priam  

Posté par
Seyper
re : Racine carrée 04-01-20 à 21:04

On obtient  √3-√2/√32-√22

Posté par
Yzz
re : Racine carrée 04-01-20 à 21:05

Avec parenthèses, oui.

Et donc le dénominateur vaut ?

Posté par
Seyper
re : Racine carrée 04-01-20 à 21:09

Le dénominateur vaut √32-√22

Posté par
Yzz
re : Racine carrée 04-01-20 à 21:13

Humm...
C'est compliqué à calculer ?

√3² =  ???   √2² = ???

Posté par
Seyper
re : Racine carrée 04-01-20 à 21:16

3 -2 = 1
Desolé je n'avait pas fait attention

Posté par
Yzz
re : Racine carrée 04-01-20 à 21:18

OK.

Et donc , 1/(√3 + √2) = ?

Posté par
Seyper
re : Racine carrée 04-01-20 à 21:19

Ça fait 1/1 = 1

Posté par
Yzz
re : Racine carrée 04-01-20 à 21:22

Heu... non, pas du tout.

Reprenons :
Avec 1/(√3 + √2) , en multipliant en haut et en bas par √3 - √2,
on a obtenu : (√3-√2)/(√3²-√2²) = (√3-√2)/1 = √3-√2.

Ainsi donc : 1/(√3 + √2) = √3-√2.

OK ?

Posté par
Seyper
re : Racine carrée 04-01-20 à 21:30

A OK je vois

Posté par
Yzz
re : Racine carrée 04-01-20 à 21:32

En appliquant le même raisonnement, que va-t-on trouver pour 1/(√4 + √3)  ?  pour 1/(√5 + √4) ? etc...  (tu dois pouvoir répondre sans faire de calculs...)

Posté par
Seyper
re : Racine carrée 04-01-20 à 21:41

On obtiendra (√4-√3) et (√5-√4)

Posté par
Yzz
re : Racine carrée 04-01-20 à 21:42

Oui.

Et donc : regarde ta somme initiale :

1/(√2 + √1) + 1/(√3 + √2) + ... + 1/(√2019 + √2018) = ... ?

Posté par
Seyper
re : Racine carrée 04-01-20 à 21:46

Je suis vraiment pas sur mais 2018 ?

Posté par
Yzz
re : Racine carrée 04-01-20 à 21:51

Non.

Tu peux montrer (en suivant l'exemple de 1/(√3 + √2) = √3-√2) , que chaque 1/(√(k+1) + √k) est égal à √(k+1) - √k :

1/(√2 + √1) = √2 - √1
1/(√3 + √2) = √3 - √2
1/(√4 + √3) = √4 - √3
...
1/(√2019 + √2018) = √2019 - √2018

Et donc, en additionnant (de chaque côté) , on trouve :
1/(√2 + √1) + 1/(√3 + √2) + ... + 1/(√2019 + √2018) = ... ?

Posté par
Yzz
re : Racine carrée 04-01-20 à 21:53

J'arrête là, je reviendrai voir demain matin , si personne n'a pris le relai ...  

Posté par
Seyper
re : Racine carrée 04-01-20 à 21:57

Quand vous dites additionner de chaque côté vous parlez bien des numérateur et des dénominateur  

Posté par
Seyper
re : Racine carrée 04-01-20 à 22:05

Yzz @ 04-01-2020 à 21:53

J'arrête là, je reviendrai voir demain matin , si personne n'a pris le relai ...  
d'accord merci de votre aide

Posté par
Seyper
re : Racine carrée 04-01-20 à 22:06

Yzz @ 04-01-2020 à 21:51

Non.

Tu peux montrer (en suivant l'exemple de 1/(√3 + √2) = √3-√2) , que chaque 1/(√(k+1) + √k) est égal à √(k+1) - √k :

1/(√2 + √1) = √2 - √1
1/(√3 + √2) = √3 - √2
1/(√4 + √3) = √4 - √3
...
1/(√2019 + √2018) = √2019 - √2018

Et donc, en additionnant (de chaque côté) , on trouve :
1/(√2 + √1) + 1/(√3 + √2) + ... + 1/(√2019 + √2018) = ... ?

Je n'arrive pas à visualiser quel pourrais être le résultat

Posté par
Priam
re : Racine carrée 05-01-20 à 17:13

Quand tu additionnes les seconds membres, tu vois que le deux 2 s'éliminent, que les deux 3 s'éliminent, etc . . .

Posté par
Seyper
re : Racine carrée 05-01-20 à 17:17

Oui (je crois )

Posté par
Priam
re : Racine carrée 05-01-20 à 18:04

Alors tu peux conclure.

Posté par
Seyper
re : Racine carrée 05-01-20 à 18:08

Les second membre c'est les dénominateur ?

Posté par
Priam
re : Racine carrée 05-01-20 à 18:22

Il n'y a plus de dénominateurs ! (cf la fin du message de Yzz de 21h22)

Posté par
Seyper
re : Racine carrée 05-01-20 à 18:34

Donc le résultat est 2019

Posté par
Yzz
re : Racine carrée 05-01-20 à 19:09

C'est √2019 - √1  !  (il n'est pas annulé, celui-là...)

Posté par
Seyper
re : Racine carrée 05-01-20 à 19:16

A oui je comprends mieux maintenant.
Merci beaucoup

Posté par
Yzz
re : Racine carrée 05-01-20 à 19:22

De rien    



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !