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Niveau Maths sup
racine carrée d'un nombre complexe
Posté par sgu35
Bonjour,
j'ai une question concernant la racine carrée d'un nombre complexe:
en notant \omega=a+ib, et z=x+iy,
z^2=\omega \leftrightarrow x^2=1/2(\sqrt{a^2+b^2}+a et y^2=1/2(sqrt{a^2+b^2}-a
Pour contrôler le résultat, on remplace le x_0 et y_0 obtenus ci-dessus. J'arrive au résultat suivant:
z^2=a+/-ib.
alors qu'il faudrait trouver a+ib tout court...
{
Bonjour,
j'ai une question concernant la racine carrée d'un nombre complexe:
en notant , et
,
et
Pour contrôler le résultat, on remplace le et
obtenus ci-dessus. J'arrive au résultat suivant:
.
alors qu'il faudrait trouver tout court...
Salut,
Effectivement, la méthode usuelle c'est d'écrire (x+iy)²=a+ib on en déduit :
x²-y² = a
2xy = b
en utilisant les modules x² + y² = 
(a²+b²)
(c'est comme ça que tu as dû trouver ton x² et y²), on introduit des solutions parasites parce que ça n'est pas équivalent, souvent on utilise le système :
x² + y² = (a²+b²)
x² - y² = a
parce que c'est plus pratique, mais on oublie pas de rajouter que xy doit avoir le signe de b ce qui va éliminer la solution parasite qui s'est introduite.
La question est le choix de y .
Si tu changes y en -y (ce qui ne change pas y2), z2 est changé en son conjugué a-ib .
La méthode permet donc de trouver à la fois une racine carrée de z et une racine carrée de son conjugué., qui sont conjuguées elles mêmes.
Si je comprend bien,
si x>0 et b>0 alors y>0
si x>0 et b<0 alors y<0
si x<0 et b>0 alors y<0
si x<0 et b<0 alors y>0
Si tu veux être complet il faudrait envisager les cas de nullité ...
En réalité cette énumération n'est pas très utile, dans les cas concrets les valeurs numériques sont connues et le choix est immédiat : c'est la méthode qu'il faut retenir.
Citation :
Si tu veux être complet il faudrait envisager les cas de nullité ..
Si tu veux être complet il faudrait envisager les cas de nullité ..
Si
Si
Si
Est-ce un bon raisonnement?