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Racine carrée de matrice

Posté par
Tiantio 09-04-23 à 11:12

Bonjour à tous

Exo : Soit S \in S_n^{++}(\mathbb{R}).
a. Déterminer A \in S_n^{++}(\mathbb{R}) telle que A²=S

b. Soit B \in S_n^{++}(\mathbb{R}) une autre racine carrée de S. Montrer qu'il existe un polynôme Q à coeff réels tel que A=Q(B). En déduire que A et B commutent.

J'ai réussi la question a. mais pas question b
Pour montrer que A et B commutent je suis parti du fait que A²=S=B² et que  A²B²=B²A²=A(AB)B=B(BA)A après je suis bloqué

Merci d'avance  pour vos indications

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Racine carrée de matrice 09-04-23 à 11:42

Bonjour,
Peux-tu préciser ce qu'est S_n^{++}(\mathbb{R}) ?

Posté par
carpediemre : Racine carrée de matrice 09-04-23 à 11:51

salut

et je ne comprends pas comment ut peux affirmer que

Tiantio @ 09-04-2023 à 11:12

  [tex]A²B²=B²A²

Posté par
carpediemre : Racine carrée de matrice 09-04-23 à 11:51

ha non pardon !!  

Posté par
Tiantiore : Racine carrée de matrice 09-04-23 à 11:55

S_n^{++}(\mathbb{R}) l'ensemble des matrices symétriques définies positives

A²A²=A²B²=B²A² comme A²=B²

Posté par
verdurinre : Racine carrée de matrice 09-04-23 à 20:24

Bonsoir,
si tu démontres que A=a_0 B^0+a_1 B^1+\dots+a_k B^k alors il est presque évident que A et B commutent car B^m et B commutent par associativité du produit matriciel.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Racine carrée de matrice 09-04-23 à 23:13

Bonsoir Tiantio

La question b. peut se déduire facilement de la question a.

il suffit en effet de choisir A comme un polynôme en S

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Racine carrée de matrice 10-04-23 à 00:02

Et il me semble qu'après (sauf erreur ) on montre que \Large\boxed{A=B}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Racine carrée de matrice 10-04-23 à 02:11

Je m'explique :


a. Comme S \in S_n^{++}(\mathbb{R}), le théorème spectral garantit l'existence d'une matrice orthognale réelle U

et d'une matrice diagonale D à coefficients diagonaux strictement positifs \lambda_1,...,\lambda_n telles que \boxed{S=U^{-1}DU}.

Soit P un polynôme réel tel que \boxed{\forall(1\leqslant i\leqslant n)~,~P(\lambda_i)=\sqrt{\lambda_i}} (il n'est pas difficile de prouver l'existence d'un tel polynôme )

On a alors \boxed{P(D)=diag(\sqrt{\lambda_1},...,\sqrt{\lambda_n})} et en choisissant \boxed{A=U^{-1}diag(\sqrt{\lambda_1},...,\sqrt{\lambda_n})U}

on vérifie facilement que \boxed{A\in S_n^{++}(\mathbb{R})~,~A^2=S~,~A=P(S)}

Posté par
Tiantiore : Racine carrée de matrice 10-04-23 à 10:41

monsieur @Verdurin
c'est ça que j'aimerais prouver mais j'ai pas d'idées

@Abdelali merci pour votre réponse j'avais fait cela mais j'ai trouvé A=UP(D)U^{-1}

Posté par
Tiantiore : Racine carrée de matrice 10-04-23 à 10:47

c'est bon j'ai compris merci pour toutes vos réponses

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Racine carrée de matrice 10-04-23 à 15:49

C'est un plaisir Tiantio


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