Bonjour à tous, j'ai ce "petit" devoir à regarder.
Je mets avant l'énoncé.

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L'objet du problème est l'étude de l'existence de racines carrées de matrices carrées. Dans tout le problème on se place dans M3(K) l'anneau des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients dans K, K = R ou C. On note Gl3(K) l'ensemble des matrices inversibles de M3(K).
Si A et B sont des éléments de M3(K) on dit que B est une racine carrée de A si B^2 = A, et on note R(A) l'ensemble des racines carrées de A.
On note O (respectivement I) la matrice nulle (respectivement unité) de M3(K). Dans tout le problème on note J et H les matrices définies respectivement par :

J = (0   0   1)         H = (0   1   0)
    (0   0   0)             (0   0   1)
    (0   0   0)             (0   0   0)


Préliminaires.

1) Montrer que R(0) et R(I) ne sont pas vides.

2) Calculer J^2, H^2 et H^3.

3) Soit A appartenant à M3(K) et P appartenant à GL3(K), montrer que R(A) est non vide si et seulement si R(P^-1AP) est non vide.
Soit N appartenant à M3(K). On suppose qu'il existe p entier naturel supérieur ou égal à 2 tel que N^(p-1) différent de O et N^p = O. On note g l'endomorphisme de K^3 canoniquement associé à N.

4)a) Montrer que N n'est pas inversible et en déduire que dim Ker(g) >= 1.
b) Montrer que si i est un entier naturel non nul Ker(g^i) =  inclus dans Ker(g^(i+1)).
c) Montrer que si j est un entier naturel non nul tel que Ker(g^i) = Ker(g^(j+i)), alors pour tout entier naturel k supérieur ou égal à j, Ker(g^k) = Ker(g^i).
d) Montrer que la suite (Ker(g^i))1<=i<=p est une suite strictement croissante pour l'inclusion.
e) Déduire de ce qui précède que p <= 3.


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Je n'ai pu faire que la première et seconde question, ensuite je bloque sur comment procéder...

Est-ce que vous pourrez m'aider ?
Je mettrais mes résultats pour les questions à partir de la 3 quand j'aurai trouvé.