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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Racine d'un polynome

Posté par
jxblrt
14-05-22 à 14:30

Bonjour, il y'a un problème que je n'arrive pas à résoudre est ce que certains d'entre vous peuvent m'aider ? Je vous en remercie d'avance, voici l'énoncé :
Soit P un polynome à coefficients réels, on suppose
P=X^n-a_{1}X^{n-1}-a_{2}X^{n-2}...-a_{n-1}X-a_{n}

avec a_{i} \geq 0   i\in \left\{1, ... ,  n \right\}
 \\ et a_{n}>0

1)Montrer que P admet une unique racine \alpha sur R+*

2) Soit z une racine (réelle ou complexe) de P. Mq \left|z\right|<\alpha

La question 1 a déjà été traîtée sur un topic de ce site mais la question 2 me pose problème et je ne sais pas d'où partir

Posté par
carpediem
re : Racine d'un polynome 14-05-22 à 19:11

salut

une idée ...

si z = re^{it} montre que r > a \Longrightarrow |P(z)| > k > 0

pour cela calcule P(z) = z^n (1 + ...) et montre que |1 + ...| > truc > 0

Posté par
jxblrt
re : Racine d'un polynome 15-05-22 à 12:07

Déjà merci pour la réponse ! Et effectivement ca paraissait en fait assez clair, je considère donc le même polynôme que celui cité par elhor à la fin du topic  sur ce lien
https://www.ilemaths.net/sujet-racine-d-un-polynome-877623.html

Donc je dis lQ(z)l>lQ(a)l car r>a  et Q strictement monotone sur R+*

or Q(a)=0 donc P(z)=0 => lzl<a ? je ne suis pas sur que mon raisonnement tienne la route

Posté par
carpediem
re : Racine d'un polynome 15-05-22 à 13:25

non ça ne tient pas vraiment la route ... ou alors il faut travailler plus finement ...

P(z) = z^n Q(1/z)

et on a Q(a) = 0 et il faut montrer que Q ne s'annule pas à l'extérieur du disque C(O, a)

et ça il faut le faire (très) proprement ...

Posté par
jxblrt
re : Racine d'un polynome 15-05-22 à 13:40

D'accord merci je vais donc tenter d'écrire rigoureusement un tel raisonnement, merci beaucoup !



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