f '(x) = 5x^4 - 4x³ + 300x² + 400x
f '(x) = x.(5x³ - 4x² + 300x + 400)

Une équation du troisième degré peut toujours être résolue. (une du 4
ème degré aussi d'ailleurs)
La résolution de cette équation donne:

Ici f '(x) = 0 uniquement pour x = 0 et pour x = -1,27689506023...

f '(x) > 0 pour x dans ]-oo ; -1,27689506023...[ -> f(x) croissante.
f '(x) = 0 pour x = -1,27689506023...
f '(x) < 0 pour x dans ]-1,27689506023...; 0[ -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 0
f '(x) > 0 pour x dans ]0 ; oo[ -> f(x) croissante.

Il y a un max de f(x) pour x =  -1,27689506023..., ce max vaut f(-1,27689506023...)
= 110,... > 0
Il y a un min fe f(x) en x = 0, ce min vaut f(0) = -1 < 0
lim(x-> -oo) f(x) = -oo
lim(x->oo) f(x) = +oo

De tout ce qui précède, on conclut que:
Il y a 3 solutions à f(x) = 0.
2 se trouvent dans l'intervalle ]-oo ; 0[ et la 3ème dans ]0 ;
oo[.
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Sauf distraction.