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Racine de la dérivation
Soit l'ensemble des fonctions réelles à valeurs complexes ou réelles de classe
. Soit $D$ l'opérateur de dérivation prenant une fonction de cet espace vectoriel et renvoyant sa fonction dérivée. Je veux montrer qu'il n'existe pas
une application linéaire telle que
.
Si on suppose par l'absurde qu'une telle fonction existe, puisque et que
, on a
ou
. Comment conclure ? Où est la contradiction ?
Merci par avance pour votre aide.
Bonsoir,
Examine séparément les cas et
pour aboutir dans les deux cas à une contradiction. Le premier cas est le plus facile.
Bonjour,
Si ,
est injective donc
est injective, ce qui n'est pas. Mais pour le cas de
, je ne vois pas ?
Bien c'est un peu plus dur dans ce cas, mais pas trop.
Indice : si , que vaut
? Pour répondre, il faut utiliser une propriété de
.
Je ne vois pas. On a , car
. Cela ne semble pas poser problème, je ne vois pas la contradiction. Toutes mes autres pistes donnent des informations ou bien moins fortes, ou bien qui ne donnent pas naissance à une contradiction. Dans mes essais, j'ai essayé d'exploiter toutes les propriétés de
. Je ne m'en sors pas.
Tu ne vois qu'un côté de la contradiction. En effet, impose
.
Mais de l'autre côté, impose autre chose sur
, quand on prend en compte une propriété de l'endomorphisme de dérivation.
Ah j'ai peut-être une autre piste finalement.
En fait, pour un endomorphisme (c'est le cas de celui de dérivation), s'il existe
tel que
, alors à partir de ce rang la dimension des noyaux reste toujours la même. Ainsi, dans notre exercice et dans le cas considéré, puisque
, la dérivée d'ordre
a un noyau de dimension
pour tout
, ce qui est faux.
On sait que
Donc
Ton autre idée (stationarité de la dimension des noyaux itérés) marche aussi, mais c'est en fait plus compliqué, bien que ça repose au fond sur la même chose.
Mais en fait il semble que juste surjective ne suffit pas, il faut préciser strictement surjective, non ? Dans ce cas on peut dire que la dimension de Ker(t²) est 2. Je ne comprends pas vraiment votre idée.
GBZM va sûrement te demander ce qu'est la « stricte surjectivité »…
Moi, je ne sais pas ce que c'est 
Cela se comprend bien. Soyons sérieux. On entend par stricte surjectivité une surjectivité qui n'a pas de caractère injectif.
Oui en effet mais ce n'est pas non plus trivial et cela m'étonnait que gbzm ne le faisait pas remarquer.
Soyons sérieux, comme tu le dis si bien, et ne pipeautons pas avec cette histoire de "stricte surjectivité".
Si est une application linéaire surjective dont le noyau est de dimension
et si
est un sous-espace de
de dimension
, quelle est la dimension de
?
Application : ,
.
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