Bonjour "petitemimi"

Tu sais, je préfère la physique...
Tes 2 questions :
Non, les coefficients a_n a_n-1 a_n-2 ... a₁ a₀ peuvent être tous différents, mais ils sont tous entiers
Une piste :
Ecris et considère P(x)/x pour x l'une des racines entières de P(x)

Hey bonjour Coll !
Quand vous dites d'écrire P(x)/x  ça donne ça : a_nx^n-1+ a_n-1x^n-2 + ...+ a₁+a₀/x
Donc là on voit que x divise a₀, mais toute racine de P c'est  P(x) ou c'est un nombre pour lequel P(x)=0 ?

Bonjour,

"On voit que"... oui, mais il te faut une démonstration quand même (je ne doute pas que tu aies vu ; exprime cela mathématiquement ; je crois que ne n'est pas très difficile)

Racine : un nombre pour lequel P(x)=0

Oui mais comment savoir que x est un nombre entier car c'est n normalement et quel est le rapport avec les racines, je n'ai pas trop compris !

P(x) = a_n.xⁿ + a_n-1.x^n-1 + a_n-2.x^n-2 + … + a₁.x + a₀

Puisque x est racine de P(x), alors P(x) = 0 et

P(x)/x = a_n.x^n-1 + a_n-1.x^n-2 + a_n-2.x^n-3 + … + a₁ + a₀/x = 0

Puisque tous les a_i sont des entiers (c'est l'énoncé) et que x est une racine entière (c'est encore l'énoncé) alors tous les a_i.xⁱ sont des...

Tu en déduis que a₀/x doit aussi être un... et donc que ...
CQFD

Oui mais comment on sait que x est la racine ? C'est défini comme ça ?
Les a_ixⁱ sont des entiers ? et pareil pour a₀/x ? et donc a₀ est divisé par des racines entières c'est ça ?

x est la racine, ça c'est l'énoncé. x est un entier, c'est encore l'énoncé.
Donc, oui, c'est ça.

Tous les a_i sont des entiers

La racine considérée x est elle aussi un entier

Donc les a_i.xⁱ sont des entiers

Une somme ou une différence d'entiers est un entier

Donc a₀/x doit aussi être un entier

C'est-à-dire que x doit diviser a₀
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Deuxième question (principe universel : elle suit la première)

Mais svp dites moi qu'est-ce qui dit dans l'énoncé que x est la racine je ne comprends pas du tout

Pour le 2) c'st parce que les coefficients directeurs ne se suivent pas ?

Je cite la question :
Montrer que toute racine entière de P, non nulle, divise a₀

Et nous avons appelé x (pourquoi pas ?) l'une de ces racines entières de P

Tu as bien vu de quelle somme nous parlons :
a_n.x^n-1 + a_n-1.x^n-2 + a_n-2.x^n-3 + … + a₁ = -a₀/x
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Pour la deuxième question :
Quels sont les diviseurs de 10 ?
Conclusion ?

Les diviseur des 10 sont -2 2 5 -5 1 -1 0 4 -4 conclusion ben tous les coefficients directeurs divise 10 mais après je vois pas pourquoi il n'y a pas de racine entière !

Je dis que la deuxième question suit la première car tu viens de démontrer (j'espère, je n'en suis pas tout à fait sûr) que toute racine entière de P(x) est un diviseur, dans , de a₀. Donc tu vas raisonner pour la deuxième question par l'absurde :
supposons que x³-2x²+4x-10 ait une racine entière x, nous venons de démontrer que x doit diviser 10. Les valeurs possibles pour x sont... et nous vérifions qu'elles ne sont pas racines ; il ne peut en exister d'autres ; donc il n'y en a pas...

Mais cette liste de diviseurs ne va pas vraiment...
A refaire

oui je l'ai démontrer !
Pourquoi elle ne va pas vraiment ma liste de diviseurs ? C'est bien tout les entiers de Z qui peuvent diviser 10 en donnant un nombre entier ?

Ah ?
Tu sais diviser par 0 ?
10 / 4 est un entier ?
10/ -4 est aussi un entier ?

Ah oui je me suis trompé, désolé ! Pour 0 j'ai inversé avec multiple ! J'ai calculer P(x) avec toutes les racines et aucune ne fait 0 donc je le démontre comment ? Je dis juste que il n'y a pas d'autres diviseur et je met tous les calculs sur ma feuille ?

Oui, je crois que c'est cela.
Relis tranquillement ce que nous avons fait. En particulier ce que j'ai écrit sur le "raisonnement par l'absurde".
Bonne soirée !

Pourquoi c'est un raisonnement par l'absurde ?
Bonne soirée
A bientôt

Raisonnement par l'absurde :

Je suppose que "quelque chose" est vrai
J'en déduis une conclusion absurde
Donc ce "quelque chose" n'est pas vrai

Mais ça veut dire que la 1) est fausse ?

Le raisonnement par l'absurde concerne la question 2 :

1) Je suppose que le polynôme x³-2x²+4x-10 a au moins une racine entière x
2) J'en déduis logiquement (en m'appuyant, avec un raisonnement correct, sur des théorèmes ou sur une démonstration précédente, ici la démonstration que l'on vient de faire à la première question) que cette racine x doit diviser 10. Or l'examen des quelques possibilités (les diviseurs de 10 dans montre que c'est faux, aucun de ces diviseurs de 10 n'est racine de ce polynôme
3) Je peux conclure que ce polynôme n'a aucune racine entière

Ok merci beaucoup !
A la prochaine !