Niveau maths spé

Racines d'un polynôme

Posté par
termina123 16-06-22 à 13:09

Bonjour
Déterminer le nombre de zéros (comptés avec multiplicité) du polynôme $P(z)=z^9+z^5-8z^3+2z+1$ dans la couronne $1<|z|<2$ .

A l'aide du théorème de Rouché en prenant $g(z)=z^9$ , on montre que P a 9 zéros avec multiplicité dans le disque ouvert centré en 0 de rayon 2 et en prenant $h(z)=-8z^3$ que P a 3 zéros avec multiplicité dans le disque ouvert centré en 0 de rayon 1
On a montré que P a 6 zéros comptés avec multiplicité dans $\{ z\in \mathbb{C}, 1\leq |z| <2\}$

Comment faire pour montrer que P a ou non des zéros sur le cercle unité ?

Posté par re : Racines d'un polynôme 16-06-22 à 13:29

J'apprends plein de beaux théorèmes !

Pour ta dernière question, si $|z|=1$
alors $|8z^3|=8$
et $|z^9+z^5+2z+1| \le 1+1+2+1$

et donc, ces 2 nombres n'ayant pas le même module, leur somme ou leur différence ne peut pas donner 0

Posté par re : Racines d'un polynôme 16-06-22 à 14:12

$|\;|z^9+z^5+2z+1|-|8z^3|\;|\leq |P(z)|\leq |z^9+z^5+2z+1|+|8z^3|$ très bien merci c'est clair comme ça

Théorème de Rouché :
Soient $f,g : U \mapsto C$ deux fonctions holomorphes sur un ouvert U et soit $\gamma :[a,b]\mapsto U$ un lacet simplement fermé tel que son intérieur est inclus dans U.
Si f et g vérifient $\forall z \in \gamma ([a,b]),|f(z)-g(z)|<|g(z)|$ alors f et g ont le même nombre de zéros comptés avec multiplicité dans l'intérieur de $\gamma$

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

analyse complexe en post-bac
2 fiches de mathématiques sur "analyse complexe" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Racines d'un polynôme

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths