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Racines d'un polynôme
Bonjour,
Soit . Il faut montrer que
admet une unique racine réelle strictement positive.
Je vois bien la somme géométrique mais je n'arrive pas à l'exploiter. Comment faire ?
Bonjour,
"Il faut montrer que" : Ce n'est pas écrit ainsi dans l'énoncé.
Peux-tu donner l'énoncé depuis le début sans le modifier ?
J'ai du mal à comprendre l'intérêt de ta démarche. L'énoncé est constitué de la même phrase mais sans le "il faut". Bref... peu importe.
salut
quand on demande de l'aide il va de soi de donner un énoncé exact et complet sans le modifier !! 
une étude de variation de P écrit sous ces formes devrait permettre de conclure ... en faisant attention à ce qui se passe autour de 1
Une autre piste qui fonctionne peut-être :
Utiliser la fonction f définie sur ]0;+
[ par f(x) =P(x) / xn-1.
Sinon, g(x) = P(x) / xn ?
quand on demande de l'aide il va de soi de donner un énoncé exact et complet sans le modifier !!
ça tombe bien, c'est ce que j'ai fait.
carpediem, je n'arrive pas à comprendre en quoi cette forme nous permet d'étudier plus facilement les variations de P. Je n'arrive pas à déterminer le signe de
sylvieg, on m'avait suggéré d'utiliser le polynôme réciproque
C'est ça ton idée ? Mais pour quoi faire ?
Utiliser l'indication qui t'a été donnée revient à s'intéresser à la fonction h définie sur ]0;+
[ par h(x) = xnP(1/x).
S'intéresser veut dire retrousser ses manches et l'étudier :
Limites, sens de variation...
Désolé, mais si. Il manque certes , mais ça n'était pas dans l'énoncé. Quoi qu'il en soit, au vu de la définition de
et de la propriété qu'on cherche à prouver, on comprend bien que
.
regarder ce que valent P(0), P(1) et P(2)
ensuite il n'y a pas que la dérivée pour déterminer les variations d'une fonction :
la deuxième forme de P (que je donne) dit que P est (strictement) croissante sur [2, +oo[ (comme produit de deux fonctions (strictement) croissantes et positives)
reste à regarder ce qui se passe sur [0, 1[ et ]1, 2]
sur le premier intervalle ça se traite aisément par inégalité en partant de (*) 0 < a < b < 1 ... blablabla
et même il suffit de traiter 0 < a < 1 (car ça reste négatif) mais (*) permet en plus de montrer la décroissance sur cet intervalle ...
ou le traiter comme je le fais sur [2, +oo[ :
x --> x^n - 1 est strictement croissante et négative sue [0, 1[
x --> 1 - 1/(x - 1) est ... ?
le + 1 ne change pas les variations ...
reste alors le cas ]1, 2] ... à voir s'il ne se traite pas de la même façon
effectivement le "classique" est peut-être (car j'ai oublié) de regarder f(x) = x^n P(1/x)
que vaut f(x) ?
reste ensuite à montrer que p est négatif sur R- bien sûr !
C'est pour ça que ce soit disant énoncé m'agace.
Il est trop mal formulé.
Il faut comprendre que sur ]0;+
[ le polynôme admet une unique solution.Il faut comprendre que sur ]0;+[ le polynôme admet une unique solution.
Oui.
carpediem, on a
Jean1418 : ha oui aussi !! 
et donc le pb est résolu ...
Ah oui d'accord ! Merci.
Maintenant, pour la suite (que je vais recopier au mot près). Soit une racine complexe de P. Montrer que
où
est l'unique racine réelle strictement positive de
. Montrer ensuite que
est l'unique racine de module maximal de
. Je n'ai pas vraiment de piste. Mes essais n'aboutissent pas
Bonjour,
On aurait aussi pu étudier la variation sur de
Avec ta fonction , si
est une racine complexe de
, que peux tu dire du signe (au sens large) de
?
Bonsoir GBZM,
Je suis bien d'accord pour la fonction g. Voir mon message de 17h08.
Ça me semble être le plus "pratique".
Bonjour,
Je ne pense pas que cela ait été écrit mais hormis la racine 1, a les mêmes racines que
où :
L'étude de suivant la parité de
permet d'aboutir.
et par décroissance de
,
. Il reste à montrer que
est l'unique racine de module maximal de
, puis montrer que
est racine simple. Je bloque vraiment sur cet exo qui semble pourtant facile...
Bonjour,
Je me permets une réponse en l'absence de GBZM.
D'abord deux questions :
Qu'est-ce qui fait que l'exo te semble facile ?
Pourquoi vouloir démontrer que xn est racine simple ?
Ceci dit, ça doit pouvoir se faire avec la dérivée seconde du polynôme Q de lake.
Tu as sans doute vu que pour démontrer que xn est l'unique racine de module xn, il suffit de démontrer ceci :
Si P(z) = 0 et |z| = xn alors z = xn.
Une piste éventuelle :
Que sais-tu sur les cas d'égalité dans une inégalité triangulaire ?
Bonjour à tous,
Une minuscule rectification : vu comment la première question est posée, l'étude de (variations) n'est nécessaire que sur
sans tenir compte de la parité de
.
>>Sylvieg, ayant l'esprit fort mal tourné j'ai cru avoir la berlue en enlevant le mot "polynôme" de tes deux derniers messages. 
J'ai mis un moment à comprendre ta remarque lake.
Ce n'est pas moi qui ai choisi de nommer ainsi ton joli ... polynôme
Sylvieg, j'ai effectivement réussi en utilisant le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire.
Maintenant, je veux montrer que x_n est racine simple car c'est ce qu'on me demande de montrer. Comment procéder ? Je ne vois pas comment faire avec le polynôme Q. J'ai essayé par toutes les caractérisations de la multiplicité.
Je pensais l'avoir dit, mais non. Il reste à démontrer que x_n est racine simple de P et à étudier la convergence de x_n.
Un conseil pour ton prochain sujet :
Tu recopies l'énoncé complet dès ton premier message.
En t'efforçant de ne rien oublier 
L'esprit de l'exercice est important.
Avant de commencer à chercher un exercice, il faut le lire jusqu'à la fin.
Pour démontrer que xn est une racine simple, il suffit de démontrer qu'elle n'annule pas le polynôme dérivé.
Dérivée seconde à oublier.
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