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Racines d'un polynôme

Posté par
Noctyle 17-05-23 à 17:22

Bonjour ! Voici l'énoncé d'un petit exercice d'oral :

Soit P = X³ - aX - a

Question : discuter les racines de ce polynome. Peut-il être scindé ?

Problème : je comprends comment trouver les racines de ce polynomes pour quelques cas particuliers de a, mais pas comment trouver une racine spécifiquement dans le cas général...

Posté par AitOuglifre : Racines d'un polynôme 17-05-23 à 17:35

Bonjour
Soit \alpha une racine(polynôme impair…). Ensuite Hörner, puis discussion…

Posté par
Noctylere : Racines d'un polynôme 17-05-23 à 17:42

Hörner ? Je n'ai pas suivi... c'est une méthode de résolution ? Type Cardan ?

Posté par AitOuglifre : Racines d'un polynôme 17-05-23 à 17:43

Division polynomiale alors si tu ne connais pas.
Divise ton polynôme par x-\alpha

Posté par
GBZMre : Racines d'un polynôme 17-05-23 à 17:48

Bonjour,
Tu n'as pas donné l'énoncé complet.. Tu as vraisemblablement oublié de dire que a est un nombre réel et qu'on demande si le polynôme est scindé sur \mathbb R (a toutes ses racines réelles).
Si tu connais le discrimlinant, c'est vite réglé.
Sinon, on peut discuter la variation de P.

Posté par
Ulmierere : Racines d'un polynôme 17-05-23 à 19:18

La division polynômiale se fait en deux secondes, sinon il y a une méthode qui fonctionne mais est beaucoup plus calculatoire. Si b est un racine,

(X+b)^3 = (X+b)(X^2+2bX+b^2) = X^3 + 3bX^2 + 3b^2X + b^3
donc (X+b)^3 - a(X+b) - a = X^3+3bX^2 + (3b^2-a)X - ab + b^3-a = X(3b^2-a + 3bX + X^2)

Reste à évaluer en X-b pour trouver X^3-aX-a = (X-b)((X-b)^2 + 3b(X-b) + 3b^2-a) = (X-b)(X^2+bX+b^2-a).


Mais je maintiens que c'est beaucoup plus long et difficile que la division synthétique

\begin{array}{r|rrr||r} \\ {}&1&0&-a&-a \\ b&{}&b&b^2&b(b^2-a)=b^3-ab \\ \hline{}&1&b&b^2-a&b^3-ab-a=0 \\ \end{array}

Posté par
GBZMre : Racines d'un polynôme 17-05-23 à 19:49

L'étude de la variation marche très bien. Je conseille cette voie.

Posté par
Noctylere : Racines d'un polynôme 20-05-23 à 14:18

L'étude des variations s'est en effet révélée aisée et plus simple qu'autre chose. Merci à tous, et oui,  "a" était en effet un réel quelconque.


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