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racines d'un polynôme du second degré

Posté par
kikipopo
07-10-21 à 20:43

Bonjour,

1 . factoriser les expressions :
2x2 - 10x + 12  et  3x2 - 3x  -6

2. Résoudre l'équation (E) suivante en précisant les valeurs interdites le cas échéant :

E = \frac{2x}{2x2-10x+12} +\frac{3}{3x^{2-3x-6}}


1. En appliquant la formule a(x-x1)(x-x2)
2x2-10x+12 = 2(x-3)(x-2)

3x2 - 3x -6 = 3(x+1)(x-2)


2. E =\frac{2x}{2x2-10x+12} +\frac{3}{3x^{2-3x-6}}


  \Leftrightarrow  \frac{2x}{ 2(x-3)(x-2)}+\frac{3}{3(x+1)(x-2)}
On met au même dénominateur


\frac{2x(3(x+1))+3(2((x-3)}{(x-2)[2(x-3)][3(x+1)]}

On note que x doit être différent de x\neq 2 ; x\neq 1 ; x\neq 3
Il faut que les résultats obtenus au numérateur soient différents de 1; 2 et 3

Posté par
Leile
re : racines d'un polynôme du second degré 07-10-21 à 20:49

bonsoir,

les factorisations me<semblent OK,

vérifie tes réponses sur les racines, il y en a une qui est fausse.

Posté par
kikipopo
re : racines d'un polynôme du second degré 07-10-21 à 21:33

oui,x\neq -1

Posté par
kikipopo
re : racines d'un polynôme du second degré 07-10-21 à 22:02

2x[3(x+1)+[3([2(x-3] = 2x(3x+3) +6x-18 = 2x(9x-15) = x= 15/9
x=5/3 est la solution de l'équation puisque -1[5/3]2

Posté par
kikipopo
re : racines d'un polynôme du second degré 07-10-21 à 23:46

Ne tenez pas compte de ma réponse de 22h02.
6x2+12x-18
\Lambda =b^{2}-4ac = 144-4 [6(-18)]=576
\Delta>0 donc deux solutions
x=-b+ou-\sqrt{\Delta }/2a
x1= \frac{-12-24}{12}=3
x2=-1
la solution est 3

Posté par
kikipopo
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 09:28

Bonjour,
Pouvez-vous me dire si la fin de l'exercice que je recopie est correcte ?
6x2+12x-18
\Lambda =b^{2}-4ac = 144-4 [6(-18)]=576
\Delta>0 donc deux solutions
x=-b+ou-\sqrt{\Delta }/2a
x1= \frac{-12-24}{12}=3
x2=-1
la solution est 3
Merci

Posté par
hekla
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 15:01

Bonjour

 \dfrac{2x}{2(x-3)(x-2)}+\dfrac{3}{3(x+1)(x-2)}

On commence par simplifier

 \dfrac{x}{(x-3)(x-2)}+\dfrac{1}{(x+1)(x-2)}


Dc(x-2)(x-3)(x+1)

 \dfrac{x(x+1)}{(x-3)(x-2)(x+1)}+\dfrac{x-3}{(x+1)(x-2)(x-3)}=\dfrac{(x^2+2x-3}{x-2)(x-3)(x+1)}

1 est une racine  1+2-3=0 ; la seconde est -3

On a le même résultat sauf que l'un est 6 fois plus grand

 \dfrac{-12-24}{12}=-3

  attention au signe  de plus vous aviez exclu 3

La seconde solution est 1  Des erreurs de signe

Posté par
kikipopo
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 15:29

Bonjour.
Merci.
J'ai travaillé sur celui-ci aussi :Afin d'étudier la trajectoire d'un ballon de rugby, on réalise un chronophotographe de son mouvement en le lançant à partir de 1 m.
Si x désigne l'abscisse du ballon (en m)au moment où il quitte la main de la joueuse (d'abscisse 0) alors la hauteur (en m) atteinte par le ballon à l'abscisse x est modélisée par :
h(x) = -0,129 + 1,26x +1.
1. Résoudre dans R l'équation h(x) = 0
Que peut-on déduire du ballon ?
2. Le ballon peut-il dépasser la hauteur de 5m ?
Justifier la réponse.
3. On souhaite calculer la distance sur laquelle la hauteur atteint la hauteur de 3m
a. Résoudre dans R l'inéquation : -0,129x2 + 1,26x -2 > 0
b. Conclure
4. a. Résoudre dans R l'inéquation h > 4,1
c. Que peut-on conclure sur la hauteur du ballon ?

1 - Résoudre dans R l'équation h(x) = 0
-0,129(x - 4,883)2 - 23,850 +1
-0,129 (x - 4,883)2 +3,07+1
-0,129 (x - 4,883)2 4,07
Y = 4,07 est le maximum atteint pour x = 4,883

2 - Il me semble que le ballon peut dépasser la hauteur de 5m puisque la courbe coupe l'axe de y à 1m. l'équation atteint un extremum à 4,07 m \simeq 4,1 : le ballon pourrait monter jusqu'à \simeq 5,1






Posté par
hekla
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 15:45

Vous auriez dû ouvrir un autre sujet puisque sans rapport avec le précédent

Pourquoi voulez-vous écrire la forme canonique  on demande la résolution donc \Delta et la suite comme d'habitude

Il retombe à

Vous dites que le maximum de la fonction est  4,07  et vous concluez qu'il peut dépasser les 5 m. N'y a-t-il pas une certaine contradiction  ?

Le mètre est compris dans l'équation de la courbe.   On montre que la hauteur  à l'abscisse 0 est 1

Posté par
kikipopo
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 15:54

Vous voulez que j'ouvre un autre sujet ?

Oui, j'ai vu que le 1m était inclus dan l'équation, mais j'ai douté de la réponse. l'extremum est atteint à 4,07 m.


Posté par
hekla
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 16:13

Non, car alors ce serait du multipost

Le maximum est bien 4,07,  obtenu pour x=4,88

Posté par
kikipopo
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 16:46

\Delta =2,103       \sqrt{\Delta }=1,452

x1=\frac{-1,26+1,452}{-0,258}=-0,745

x2=\frac{-1,26-1,452}{-0,258} =10,51
Le ballon retombe à partir de
x = 4,88 et touche le sol à x = 10,51

Posté par
kikipopo
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 16:53

3 - a.  Résoudre dans R l'inéquation
-0,129x2 + 1,26x -2 >0
Delta = b2-4ac =0,5556 est positif donc 2 solutions
-b+ou- racine carrée de delta
X1 = 1,99
X2= 7,77
Le ballon dépasse les 3m à x1= 1,99 et repasse à 3m à x2 =7,77

Posté par
hekla
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 16:55

La seconde partie est suffisante
elle touche le sol à 10,51 m

Vous n'avez pas encore montré que le maximum est obtenu pour 4,88

Posté par
hekla
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 17:01

une vérification

racines d\'un polynôme du second degré

Posté par
kikipopo
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 17:14

C'est la forme canonique qui donne l'extremum \alpha = 4,88 et \beta = 4,07

Posté par
hekla
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 17:23

Pour l'instant, oui

Cela pourra changer lorsque vous aurez vu les dérivées

Posté par
kikipopo
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 17:27

Que faut-il faire pour montrer que le maximum est atteint à 4,88 ?

Posté par
hekla
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 17:45

Vous avez écrit la forme canonique.
Dans le cours on vous a montré  pour a<0
que la fonction était croissante sur ]-\infty~;~\alpha] 
 \\ et décroissante sur  [\alpha~;~+\infty[
le maximum est bien obtenu pour x=\alpha

Posté par
kikipopo
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 17:55

3 - a.  Résoudre dans R l'inéquation
-0,129x2 + 1,26x -2 >0
Delta = b2-4ac =0,5556 est positif donc 2 solutions
-b+ou- racine carrée de delta
X1 = 1,99
X2= 7,77
Le ballon dépasse les 3m à x1= 1,99 et repasse à 3m à x2 =7,77
Le tableau de signes
x        - \omega         1,99                  7,77                              + \omega
                
  f(x)           -        0             +           0               -

Posté par
hekla
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 18:15

Vous l'aviez ébauché 16 : 53  puisqu'il n'y avait pas le tableau de signes

il faudrait conclure  entre 1,99 et 7,77 le ballon est au-dessus des 3 m

Posté par
kikipopo
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 18:23

Compte tenu de votre réponse de 17h45, nous avons la répnseau point 4.  h(x) >0
   x        - \omega        -0,745                  4,88                              + \omega
                
  h(x)                            -        0             +           0    

   h(x) S \left\{]4,88] 10,51 \right\}

Posté par
hekla
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 18:43

Citation :
On souhaite calculer la distance sur laquelle la hauteur atteint la hauteur de 3m
a. Résoudre dans R l'inéquation : -0,129x2 + 1,26x -2 > 0
b. Conclure

réponse 18 :15 plus précisément puisqu'on demande sur quelle distance il faudra effectuer  

7,77-1,99

Citation :
4. a. Résoudre dans R l'inéquation h > 4,1
c. Que peut-on conclure sur la hauteur du ballon ?


a) rien à faire on a montré que le maximum était 4,07  
donc l'ensemble solution de l'inéquation est l'ensemble vide  \emptyset

Pas de question b) ?

c) Il faudra le dire combien de fois que le ballon n'atteindra la hauteur de 4,1 m !

Posté par
kikipopo
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 19:10

C'est moi qui ai fait un erreur ; pour la dernière question c'est b et non c.
J'ai quand même des interrogations.
Pour la question  3, j'ai résolu l'inéquation en pensant qu'elle était la solution à la question posée, mais je ne vois pas pourquoi. Est-ce la différence entre   1 l'équation h(x) de question 1 et le -2 de l'inéquation et si oui pourquoi ?
Et pourquoi vous écrivez "donc l'ensemble solution de l'inéquation est l'ensemble vide  \Theta

Posté par
hekla
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 19:34

C'était juste pour savoir s'il n'y avait pas une autre question sinon cela n'a guère d'importance.

Question 3 distance pour laquelle le ballon est au-dessus de 3 m

on veut donc résoudre h(x)> 3

-0,129x^2+1,26x+1>3\iff  0,129x^2+1,26x+1-3>0

Par conséquent, on a bien résolu 0,129x^2+1,26x -2>0 on a trouvé deux valeurs  

approximativement 1,99 et 7,77   la distance est donc 7,77-1,99\approx 5,78

Pour la question 4 on veut résoudre l'inéquation h(x)>4,1

Vous pouvez la résoudre comme n'importe quelle inéquation du second degré, mais comme on a montré que le maximum était d'environ 4,07 il est inutile de faire les calculs autant dire directement que l'ensemble solution est vide

Posté par
kikipopo
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 20:15

Donc c'est bien le -2 qui fait que l'inéquation permet de répondre à la question. Votre explication permet de savoir pourquoi. Peut-être que ça aurait été intéressant que je pose moi-même l'inéquation comme vous l'avez fait.
Pour h(x) >4,1 , oui, je n'ai pas vu l'intérêt de refaire des calculs déjà effectués.  On dit que c'est un ensemble vide parce qu'on a démontré que 4,1 est le maximum.  


.

Posté par
hekla
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 20:35

non, 4,1 est plus grand que le maximum

Posté par
kikipopo
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 20:53

Donc c'est parce que h(x)>4,1 est au-delà de 4,07 qui est le maximum ?

Posté par
hekla
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 21:05

On ne pourra pas trouver de valeurs de x pour lesquelles
l'inéquation h(x)>4,1 soit vraie, car on a montré que pour tout
x,\  h(x)\leqslant 4,07

Posté par
kikipopo
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 21:49

Oui, c'est ça. Je vais essayer d'employer des expressions plus mathématiques.  

Merci beaucoup.

Bonne soirée.

Posté par
hekla
re : racines d'un polynôme du second degré 08-10-21 à 21:53

De rien

Bonne soirée

Au lieu de « inéquation »  il faudrait écrire  « inégalité »



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