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Racines de polynômes

Posté par
Lhy 19-07-17 à 14:43

Bonjour,

Il faut trouver le nombre de racines réelles de P{n} = \sum_{k=0}^{n}{\frac{X^k}{k!}}
Donc on remarque que (P{n})' = P{n-1} et on généralise  ; et on conjecture que l'on a une une unique racine réelle si le degré est impair et que l'on en a pas s'il est pair ; (on peut aussi montrer que les racines sont simples).
Je n'arrive pas à aboutir par récurrence.

Si vous auriez une piste... Merci

Posté par
Razesre : Racines de polynômes 19-07-17 à 14:58

Bonjour,

P\left ( n \right ) = \sum_{k=0}^{n}{\frac{X^k}{k!}}
Donc:

P\left ( n \right ) =P\left ( n-1 \right ) +\frac{X^k}{k!}

Posté par
Razesre : Racines de polynômes 19-07-17 à 15:04

Voir aussi P(0),P(1),P(2), récurence

Posté par
Razesre : Racines de polynômes 19-07-17 à 15:10

Il vaudrait mieux changer de notation, utiliser P_n\left ( X \right )

Autre information qui pourrait servir; le théorème des valeurs intermédiaires.

Posté par
Lhyre : Racines de polynômes 19-07-17 à 15:28

Ton 1er message -> on en déduit que les racines sont simples
Le 2e -> j'ai déjà donné la conjecture
Le 3e -> je sais, grâce au TVI, que si le degré est impair, on a une racine réelle ; je voudrais montrer qu'elle est unique.

Posté par
lionel52re : Racines de polynômes 19-07-17 à 16:27

Salut !

(P_n(x)e^{-x})' = (P_n'(x) - P_n(x))e^{-x}  = -\frac{x^n}{n!}e^{-x}

Alors en intégrant de x à l'infini,

P_n(x)e^{-x} =\int_{x}^{\infty} \frac{t^n}{n!}e^{-t}dt


Ce qui prouve déjà que pour n pair, P_n ne s'annule pas.
Maintenant pour n impair, tu as une dérivée strictement positive et des limites infinies en l'infini...

Posté par
Lhyre : Racines de polynômes 19-07-17 à 16:57

Merci, on utilise bien le lien avec la dérivée comme cela. Oui c'est terminé du coup.

Posté par
etniopalre : Racines de polynômes 19-07-17 à 17:00

As-tu essayé une récurrence ?

Posté par
Razesre : Racines de polynômes 19-07-17 à 17:21

Qu'as trouvé pour le moment?

P_0\left ( X \right )= \\ P_1\left ( X \right )= \\ P_2\left ( X \right )=

Posté par
Lhyre : Racines de polynômes 19-07-17 à 17:31

etniopal : Oui, et j'ai écrit dans mon premier message que je n'arrivais pas à aboutir.

Razes : désolé, je ne comprends pas ce que tu me demandes : j'ai bien sûr regardé ce qu'il se passait pour les premières valeurs de n ...

Posté par
Lhyre : Racines de polynômes 19-07-17 à 17:34

Razes : Tu n'as pas dû bien lire mon message principal

Posté par
Lhyre : Racines de polynômes 19-07-17 à 19:08


Et sinon, quel est le nombre de racines dans ?

On sait déjà qu'elles sont simples et que si l'on en a une, sa conjuguée aussi.

Posté par
etniopalre : Racines de polynômes 19-07-17 à 20:18

Si les racines de A   n[X]  sont simples , leur nombre est n .

Posté par
Lhyre : Racines de polynômes 19-07-17 à 21:48

Euh ... oui       Merci


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