Racines doubles pour P3(x)

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Racines doubles pour P3(x)
Posté par 
alainpaul  21-02-17 à 12:17
Bonjour,

Quelles sont les conditions requises pour que le polynôme du 3 ème degré

  possède une racine double?

Donner les 3 racines de P3 ,les triplets s'il existe plusieurs solutions.

Merci pour votre réponse,

Alain
 Posté par 
LeHiboure : Racines doubles pour P3(x)  21-02-17 à 13:14
Bonjour,

Une racine double est également racine du polynôme dérivé, soit 3x²-p

Tu as deux solutions : x = +/-(p/3)

Tu reportes ces valeurs dans le polynôme initial et tu as tes conditions.
 Posté par 
Sylvieg re : Racines doubles pour P3(x)  21-02-17 à 13:32
Bon mardi après-midi,

Voir par exemple  

Avec  p > 0  , ma première impression est que c'est difficile.
 Posté par 
alainpaulre : Racines doubles pour P3(x)  21-02-17 à 18:06
Bonsoir,

Nous pouvons construire le polynôme Q3(x)  qui ne contient pas de termes x2:

 ,pour une racine double nous obtenons:

. . . . 

"ce n'est pas difficile"

Alain
 Posté par 
Sylvieg re : Racines doubles pour P3(x)  21-02-17 à 19:31
Quand je dis "difficile", c'est pour dire que je crois que c'est impossible avec  p>0 .
 Posté par 
alainpaulre : Racines doubles pour P3(x)  22-02-17 à 11:02
Bonjour,

Es-tu d'accord sur le fait que    donne un polynôme

  ,sans termes en x2 ?

Alain
 Posté par 
Sylvieg re : Racines doubles pour P3(x)  22-02-17 à 11:17
Oui.
 Posté par 
Sylvieg re : Racines doubles pour P3(x)  22-02-17 à 11:31
D'accord pour 
Citation :
 
Ce qui m'a fait dire des bêtises, c'est que je travaillais avec  
 Posté par 
Sylvieg re : Racines doubles pour P3(x)  22-02-17 à 11:48
Finalement je trouve   q = (2/3)p(p/3)  ou  q = -(2/3)p(p/3)

Ce qui revient à la relation connue  4p3-27q2 = 0
  Posté par 
alainpaulre : Racines doubles pour P3(x)  22-02-17 à 12:02
Bon

Nous pouvons remarquer que les polynômes   et  

ont des racines opposées.

Oui,cette approche  conduit aussi à 4p3-27q2 = 0  . 

Alain