bonjour
pourriez vous m'aider sur l'exo suivant
soit P non constant tq P(X+1) divise (X+1)P(X)
a- mq que si a est racine non nul alors a-1 est aussi racine
b- en deduire que les racines de P sont des entiers naturels
c- soit n la plus grande racine. mq P=(X-i)mi avec i de 0 a n
d- mq que P = (X-i) avec i de 0 a n
a/ je remplace X=a-1 et j'obtiens aP(a-1)= 0 puis P(a-1) = 0
b/ je suppose que b est racine non entiers alors par reccurence b-k est aussi racine et non entiers , ainsi b-k est toujours different de 0 , donc P admet une infinite de racine donc P = 0 , contradiction avec P non constant
c/les entiers de n a 0 sont les racines de P donc les X-i divisent P et ils sont premiers entre eux doncX-i divise P donc il existe tq P=(X-i) , et la j'aboutis directement dans la derniere question , je ne sais pas comment faire apparaitre les multiplicites , et puis j'ai certainement fait une erreur mais je n'arrive pas a la localiser
merci pour votre aide
Bonjour
par définition, un polynôme dont les racines sont exactement les entiers de 0 à n s'écrit avec
c'est juste sa forme factorisée
bonjour
je doute que la reponse attendu soit le fait d'enonce directement ce resultat , il me semble que je suis cense utilisait le theoreme d'alembert gauss ainsi que le fait que tout polynome est scinde dans C , mais je n'arrive pas a le rediger correctement,
aussi ma reponse b/ est elle correcte?
merci
bonjour
pour d/ en utilisant c/ j'ai calcule P(X+1) puis en faisant le changement d'indice j=i-1
je trouve P(X+1) = (X+1)(X-j)mj+1 avec j de 0 a n-1 , ensuite en utilisant la formule de l'enonce et en simplifiant par (X+1) je trouve (X-i)mi = Q(X)(X-i)mi+1 avec la premiere i de 0 a n et la deuxieme de 0 a n-1 , je n'arrive pas a monter que mi est un suite constante egale a 1 , tout de meme je peux dire que Q(x) est de degre 1 et unitaire
merci
Bonjour,
Je réponds en l'absence de Zormuche.
Pour c), je suis d'accord avec lui, sauf pour le "par définition".
Je répète donc, en l'enlevant :
Une fois démontré que les racines du polynôme sont les entiers de 0 à n, on peut en déduire que la forme de P(X) est celle donnée dans l'énoncé de la question.
La réponse de b) est bonne
Finalement, tu as raison Yosh2.
Il faut faire appel au théorème d'Alembert Gauss et au fait que tout polynôme est scindé dans .
Pas le temps d'approfondir. je reviendrais en début d'après midi.
Bonjour,
Le chemin pris par l'exercice me semble inutilement compliqué.
On peut montrer directement par récurrence sur le degré du polynôme que si est un polynôme de degré tel que divise , alors
,
où est une constante non nulle.
En effet :
Si : on a et car sinon et alors est constant.
On en déduit que divise et que le quotient est un polynôme de degré tel que divise .
bonsoir
d'apres la derniere relation que vous avez trouve Sylvieg , on peut dire que la suite mi est constante (meme si je n'arrive pas a justifier rigoureusement pourquoi , peut etre en parlant de l'unicite de la factorisation en produit de polynome irreductible ) , de plus elle ne peut valoir autre chose que 1 car sinon le degre depasserait n+1 qui est le degre de P.
merci
La suite (mi) est constante car, d'après la dernière égalité, mi+1 = mi pour tout i de 0 à n-1.
Par ailleurs mn = 1.
Pour la récurrence de GBZM, elle semble séduisante ; mais j'ai un peu de mal à la comprendre
Précision :
Je pense qu'évoquer le degré de multiplicité de l'entier i suffit pour justifier que la dernière égalité implique mi+1 = mi.
Bon, je crois que j'ai fini par comprendre l'hérédité.
A partir de (X+1)P(X)=(X+b)P(X+1) avec deg(P) = n et b 1,
on a P(X+1) = (X+1)Q(X). Égalité notée (1).
De plus deg(Q) = n-1.
En remplaçant dans (X+1)P(X)=(X+b)P(X+1), on trouve P(X) = (X+b)Q(X).
D'où P(X+1) = (X+b+1)Q(X+1).
Puis, d'après (1), (X+1)Q(X) = (X+b+1)Q(X+1) ; donc Q(X+1) divise le premier membre.
De plus, toujours d'après 1), P(X) = X Q(X-1). Ce qui permet de trouver P(X) de la forme voulue.
C'est cette dernière ligne qui m'a donnée du fil à retordre
Oui, il faut utiliser que équivaut à .
Le raisonnement n'utilise nulle part d'Alembert-Gauss. Il utilise que le corps est de caractéristique 0.
Pour un corps de caractéristique , le résultat est, sauf erreur : si divise et est de degré avec alors est de la forme :
, où est un polynôme de degré .
Petite étape pour le cas de caractéristique , qui vaut le détour a elle toute seule :
Soit un corps de caractéristique . Quels sont les tels que ?
Tour ou détour...
Je ne suis plus assez dans le bain.
Ta généralisation et son coup de pouce intéresseront certainement d'autres îliens !
salut
je dirai les polynômes constants et le polynôme qui est lui-même constant d'après le petit théorème de Fermat ... (et leur multiples et combinaisons linéaires ..)
allez je rejoue : c'est la grande parenthèse de ton msg de 11h24 ...
mais je me focalise trop sur le fait qui doit être constant ... sans en être certain !!
donc je ne suis pas sûr ...
Ce qu'on demande, ce n'est pas que pour tout élément du corps, mais que . Pour un corps fini, ça fait une différence !
Pour ce qui est du polynôme que tu proposes, il vérifie bien . Mais c'est très loin d'être le seul.
Une indication : si , alors le degré de est un multiple de la caractéristique du corps. Ça se vérifie de manière tout à fait élémentaire, en écrivant et en regardant .
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