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racines entieres

Posté par
Yosh2
21-02-21 à 13:24

bonjour
pourriez vous m'aider sur l'exo suivant
soit P non constant tq P(X+1) divise (X+1)P(X)
a- mq que si a est racine non nul alors a-1 est aussi racine
b- en deduire que les racines de P sont des entiers naturels
c- soit n la plus grande racine. mq P=(X-i)mi avec i de 0 a n
d- mq que P = (X-i) avec i de 0 a n

a/ je remplace X=a-1 et j'obtiens aP(a-1)= 0 puis P(a-1) = 0
b/ je suppose que b est racine non entiers alors par reccurence b-k est aussi racine et non entiers , ainsi b-k est toujours different de 0 , donc P admet une infinite de racine donc P = 0 , contradiction avec P non constant
c/les entiers de n a 0 sont les racines de P donc  les X-i divisent P et ils sont premiers entre eux doncX-i divise P donc il existe tq P=(X-i) , et la j'aboutis directement dans la derniere question , je ne sais pas comment faire apparaitre les multiplicites , et puis j'ai certainement fait une erreur mais je n'arrive pas a la localiser
merci pour votre aide

Posté par
Zormuche
re : racines entieres 21-02-21 à 13:28

Bonjour

par définition, un polynôme dont les racines sont exactement les entiers de 0 à n s'écrit \lambda \prod_{i=0}^n (X-i)^{mi}  avec  m_i\in\N^*
c'est juste sa forme factorisée

Posté par
Zormuche
re : racines entieres 21-02-21 à 13:32

oublie mon dernier message c'est n'importe quoi, pas bien réveillé moi  

Posté par
Zormuche
re : racines entieres 21-02-21 à 13:39

En fait, si, c'est très bien. Décidément...

Posté par
Yosh2
re : racines entieres 22-02-21 à 11:33

bonjour
je doute que la reponse attendu soit le fait d'enonce directement ce resultat , il me semble que je suis cense utilisait le theoreme d'alembert gauss ainsi que le fait que tout polynome est scinde dans C , mais je n'arrive pas a le rediger correctement,
aussi ma reponse b/ est elle correcte?
merci

Posté par
Yosh2
re : racines entieres 22-02-21 à 12:18

bonjour
pour d/ en utilisant c/ j'ai calcule P(X+1) puis en faisant le changement d'indice j=i-1
je trouve P(X+1) = (X+1)(X-j)mj+1 avec j de 0 a n-1 , ensuite en utilisant la formule de l'enonce et en simplifiant par (X+1) je trouve (X-i)mi = Q(X)(X-i)mi+1 avec la premiere i de 0 a n et la deuxieme de 0 a n-1 , je n'arrive pas a monter que mi est un suite constante egale a 1 , tout de meme je peux dire que Q(x) est de degre 1 et unitaire
merci

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : racines entieres 22-02-21 à 12:22

Bonjour,
Je réponds en l'absence de Zormuche.
Pour c), je suis d'accord avec lui, sauf pour le "par définition".
Je répète donc, en l'enlevant :
Une fois démontré que les racines du polynôme sont les entiers de 0 à n, on peut en déduire que la forme de P(X) est celle donnée dans l'énoncé de la question.

La réponse de b) est bonne

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : racines entieres 22-02-21 à 12:28

Finalement, tu as raison Yosh2.
Il faut faire appel au théorème d'Alembert Gauss et au fait que tout polynôme est scindé dans .
Pas le temps d'approfondir. je reviendrais en début d'après midi.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : racines entieres 22-02-21 à 15:22

Je me lance en prolongeant ce que tu as amorcé à 12h18 :

Q(X) = X+b

(X+b) P(X+1) = (X+1) P(X) \; et \; P(X) = \lambda \prod_{i=0}^{n}{(X-i)^{m_{i}}}

(X+b)\prod_{i=0}^{n}{(X-(i-1))^{m_{i}}} = (X+1)\prod_{i=0}^{n}{(X-i)^{m_{i}}}

(X+b)(X+1)\prod_{j=0}^{n-1}{(X-j)^{m_{j+1}}} = (X+1)(X-n)^{m_{n}}\prod_{i=0}^{n-1}{(X-i)^{m_{i}}}

b = -n \; et \; m_{n} = 1 \; et \; \prod_{i=0}^{n-1}{(X-i)^{m_{i+1}}} = \prod_{i=0}^{n-1}{(X-i)^{m_{i}}}

Posté par
GBZM
re : racines entieres 22-02-21 à 18:00

Bonjour,

Le chemin pris par l'exercice me semble inutilement compliqué.
On peut montrer directement par récurrence sur le degré du polynôme que si P est un polynôme de degré n tel que P(X+1) divise (X+1)P(X), alors

P=c\prod_{k\in \N,\;k<n}(X-k),
c est une constante non nulle.

En effet :
Si n>0 : on a (X+1)P(X)=P(X+1)(X+b) et b\neq 1 car sinon P(X)=P(X+1) et alors P est constant.
On en déduit que (X+1) divise P(X+1) et que le quotient Q est un polynôme de degré n-1 tel que Q(X+1) divise (X+1)Q(X).

Posté par
Yosh2
re : racines entieres 22-02-21 à 19:07

bonsoir
d'apres la derniere relation que vous avez trouve Sylvieg , on peut dire que la suite mi est constante (meme si je n'arrive pas a justifier rigoureusement pourquoi , peut etre en parlant de l'unicite de la factorisation en produit de polynome irreductible ) , de plus elle ne peut valoir autre chose que 1 car sinon le degre depasserait n+1 qui est le degre de P.
merci

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : racines entieres 22-02-21 à 19:17

La suite (mi) est constante car, d'après la dernière égalité, mi+1 = mi pour tout i de 0 à n-1.
Par ailleurs mn = 1.

Pour la récurrence de GBZM, elle semble séduisante ; mais j'ai un peu de mal à la comprendre

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : racines entieres 22-02-21 à 19:25

Précision :
Je pense qu'évoquer le degré de multiplicité de l'entier i suffit pour justifier que la dernière égalité implique mi+1 = mi.

Posté par
GBZM
re : racines entieres 22-02-21 à 20:42

Qu'est-ce qui te pose problème Sylvieg ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : racines entieres 22-02-21 à 20:53

Je regarderai mieux demain. Et si je bloque toujours, je dirais où

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : racines entieres 23-02-21 à 09:52

Bon, je crois que j'ai fini par comprendre l'hérédité.

A partir de (X+1)P(X)=(X+b)P(X+1) avec deg(P) = n et b 1,
on a P(X+1) = (X+1)Q(X). Égalité notée (1).
De plus deg(Q) = n-1.
En remplaçant dans (X+1)P(X)=(X+b)P(X+1), on trouve P(X) = (X+b)Q(X).
D'où P(X+1) = (X+b+1)Q(X+1).
Puis, d'après (1), (X+1)Q(X) = (X+b+1)Q(X+1) ; donc Q(X+1) divise le premier membre.
De plus, toujours d'après 1), P(X) = X Q(X-1). Ce qui permet de trouver P(X) de la forme voulue.

C'est cette dernière ligne qui m'a donnée du fil à retordre

Posté par
GBZM
re : racines entieres 23-02-21 à 11:24

Oui, il faut utiliser que P(X+1)=(X+1)Q(X) équivaut à P(X)=XQ(X-1).

Le raisonnement n'utilise nulle part d'Alembert-Gauss. Il utilise que le corps est de caractéristique 0.
Pour un corps de caractéristique p, le résultat est, sauf erreur : si P(X+1) divise (X+1)P(X) et P est de degré qp+r avec 0\leq r<p alors P est de la forme :

\large P(X) = C\left(\prod_{0\leq i<p}(X-i)\right)\, \prod_{0\leq j<r}(X-j), où C est un polynôme de degré q.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : racines entieres 23-02-21 à 11:40

Merci pour ta réponse
Pour la généralisation, je passe mon tour

Posté par
GBZM
re : racines entieres 23-02-21 à 11:46

Petite étape pour le cas de caractéristique p, qui vaut le détour a elle toute seule :
Soit k un corps de caractéristique p. Quels sont les P\in k[X] tels que P(X)=P(X+1) ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : racines entieres 23-02-21 à 11:58

Tour ou détour...
Je ne suis plus assez dans le bain.
Ta généralisation et son coup de pouce intéresseront certainement d'autres îliens !

Posté par
carpediem
re : racines entieres 23-02-21 à 13:52

salut

je dirai les polynômes constants et le polynôme  P(x) = x^{p - 1} qui est lui-même constant d'après le petit théorème de Fermat ... (et leur multiples et combinaisons linéaires ..)

Posté par
GBZM
re : racines entieres 23-02-21 à 14:25

Perdu. Prenons par exemple p=2, de sorte que p-1=1. On n'a sûrement pas X=X+1.

Posté par
carpediem
re : racines entieres 23-02-21 à 14:42

allez je rejoue : c'est la grande parenthèse de ton msg de 11h24 ...

mais je me focalise trop sur le fait qui doit être constant ... sans en être certain !!

donc je ne suis pas sûr ...

Posté par
GBZM
re : racines entieres 23-02-21 à 14:52

Peux-tu préciser ta réponse ?

Posté par
carpediem
re : racines entieres 23-02-21 à 18:32

je dirai P(x) = \prod_0^{p - 1} (x - k)

pour tout cas il me semble qu'on a P(k) = P(k + 1)  ... = 0 ...

Posté par
GBZM
re : racines entieres 23-02-21 à 21:47

Ce qu'on demande, ce n'est pas que P(k)=P(k+1) pour tout élément k du corps, mais que P(X)=P(X+1). Pour un corps fini, ça fait une différence !

Pour ce qui est du polynôme que tu proposes, il vérifie bien P(X)=P(X+1). Mais c'est très loin d'être le seul.

Une indication : si P(X)=P(X+1), alors le degré de P est un multiple de la caractéristique du corps. Ça se vérifie de manière tout à fait élémentaire, en écrivant P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0 et en regardant P(X+1).

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