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Niveau Maths sup
Racines n-èmes, nombres complexes, équation 4è degré
Posté par Didou46 (invité)
Bonjour,
Je dois résoudre l'équation suivante :
(E) : z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0
Il fallait d'abord dire que si z=1, alors (E) est différent de 0 donc 1 n'est pas un racine de (E).
Ensuite, on demandait d'en déduire que (E) est équivalente à (F) :
z différent de 1 et ....
J'ai dis que (E) est équivalente à (z2 +z)(z2+1)=-1
Et ensuite z2+z=1/(z2+1).
Mais je ne vois pas à quoi servait de montrer que 1 n'est pas une racine de (E), car là je ne vois pas comment résoudre l'équation. Si (z2 +z)(z2+1)=0 j'aurais su faire à cause du produit de deux facteurs nul etc. mais là je reste bloquée!
Merci d'avance pour votre aide.
Posté par Didou46 (invité)re : Racines n-èmes, nombres complexes, équation 4è degré
Merci, mais comment avez-vous fait pour passer de 1+z+z^2+... à (1-z5)/(1-z) ?
Posté par Didou46 (invité)re : Racines n-èmes, nombres complexes, équation 4è degré
Ah oui!
Et après je pensais mettre (1-z^5)/(1-z) sous la forme Z^5 pour ensuite résoudre Z^5=0 mais le problème c'est que 1-z n'est pas à la puissance 5 et je ne sais pas comment on peut le mettre à la puissance 5...
apres tu dois résoudre (z^5-1)/(z-1)=0.
a qu'elle condition une fraction est nul ?
tu n'as aucune raison de vouloir l'écrire sous la forme Z^5=0 ! (et pourquoi =0 d'abord ? )
Posté par Didou46 (invité)re : Racines n-èmes, nombres complexes, équation 4è degré
la fraction est nulle si et seulement si z^5-1=0 donc je résout juste z^5=1 (racine 5ème de 1) ?
c'est cela.
en faisant tous de meme attention que pour cela tu dois supposer que z est différent de 1. il faut donc examiner séparement si z=1 est ou non solution.
par exemple, ici il n'est pas solution, mais pourtant quand tu résout z^5=1 z=1 est solution... les solution sont donc les 4 autres racines 5eme de l'unité.