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Racines n-ième

Posté par
Leffie33 16-12-18 à 12:44

Bonjour,
Dans un exercice je devais trouver les racines cubiques de -8, j'ai procédé ainsi :
J'ai utilisé la formule suivante:
W_{k}=\sqrt[n]{re^{i(\frac{\Theta +2k\Pi }{n})}}
d'où:
W_{k}=\sqrt[3]{8e^{i(\frac{\Pi +2k\Pi }{3})}}
avec k\epsilon \left[0,(n-1) \right]
Je sais que \sqrt[3]{8}=2 ce qui me permets d'écrire:
w_{0}=2\sqrt[3]{e^{i\frac{\Pi }{3}}} etc mais je voudrais simplifier l'écriture et le débarasser du \sqrt[3]{} comment puis-je faire ?
Je fais cela dans le but d'écrire les racines sous forme algébrique…


Merci à toutes les personnes qui contribuerons à m'aider

Posté par
Leffie33re : Racines n-ième 16-12-18 à 12:46

Excusez-moi je crois que posté pour rien c'est peut-être la fatigue désolée il suffit de :
e^{i\frac{\Pi }{3}*3*\frac{1}{2}}

Posté par
Leffie33re : Racines n-ième 16-12-18 à 12:50

Toujours pas mdr juste multiplier par 1/3

Posté par
Leffie33re : Racines n-ième 16-12-18 à 13:09

Désolée je pense avoir une vraie question car je rencontre un problème avec résultats:
w_{0}=\sqrt[3]{8e^{i(\frac{\Pi}{3})}}=2e^{i\frac{\Pi }{9}}=2(cos(\frac{\Pi }{9})+isin(\frac{\Pi }{9}))
je ne connais pas les valeurs pour \frac{\Pi }{9} c'est ça qui me bloque…

Posté par
Leffie33re : Racines n-ième 16-12-18 à 13:19

De plus il semblerait que mes autres résultats ne soient pas corrects également :
w_{1}=\sqrt[3]{8e^{i(\frac{\Pi +2\Pi }{3})}}=2e^{i\frac{\Pi}{3} }=1+i\sqrt{3}
w_{2}=\sqrt[3]{8e^{i(\frac{\Pi +4\Pi }{3})}}=2e^{i\frac{5\Pi}{6} }=-\sqrt{3}+i

Je pense qu'il ne sont pas corrects car j'ai résolu l'exercice avec une autre méthode et j'ai trouvé des valeurs différentes:
w_{0}=1+i\sqrt{3}
w_{1}=-2
w_{2}=1-i\sqrt{3}

Posté par
malou Webmasterre : Racines n-ième 16-12-18 à 13:43

cherche tes racines cubiques directement sous la forme z=re^{it} avec r > 0 et t réel

Posté par
Leffie33re : Racines n-ième 16-12-18 à 13:46

malou
Merci, je sais que je peux faire autrement mais j'aimerais appliquer la la formule du cours

Posté par
sanantonio312re : Racines n-ième 16-12-18 à 13:46

Bonjour,
\sqrt[n]{re^{i\theta }}=\sqrt[n]{r}\times e^{\frac{i\theta }{n}}

Posté par
malou Webmasterre : Racines n-ième 16-12-18 à 13:47

ben peut-être mais tu sais écrire -8 sous forme trigo ?
edit > qd je dis forme trigo, je pense forme exponentielle

Posté par
etniopalre : Racines n-ième 16-12-18 à 14:04

Il n'y a pas d'application  "racine nième "     mais de vers P()  .

Posté par
Leffie33re : Racines n-ième 16-12-18 à 14:13

malou @ 16-12-2018 à 13:47

ben peut-être mais tu sais écrire -8 sous forme trigo ?
edit > qd je dis forme trigo, je pense forme exponentielle


C'est intéressant votre remarque car je me demande pourquoi on confond (dans les énoncés des profs mais aussi des livres etc forme trigonométrique par exponentielle, algébrique par trigonométrique tc est-ce normal ?

Posté par
Leffie33re : Racines n-ième 16-12-18 à 14:16

sanantonio312

sanantonio312 @ 16-12-2018 à 13:46

Bonjour,
\sqrt[n]{re^{i\theta }}=\sqrt[n]{r}\times e^{\frac{i\theta }{n}}

Merci

Posté par
Leffie33re : Racines n-ième 16-12-18 à 14:16

etniopal @ 16-12-2018 à 14:04

Il n'y a pas d'application  "racine nième "     mais de vers P()  .


Je ne comprends pas bien ce que cela implique

Posté par
malou Webmasterre : Racines n-ième 16-12-18 à 14:18

trigonométrique par exponentielle, oui c'est classique, bien que ce ne soit pas les mêmes écritures sur le papier, mais on y voit au premier coup d'oeil les mêmes informations
par contre, non, algébrique et les 2 autres, on ne les confonds pas, je ne suis pas d'accord

Posté par
carpediemre : Racines n-ième 16-12-18 à 15:57

de toute façon utiliser le symbole radical avec des nombres complexes est un non-sens ...

Posté par
Leffie33re : Racines n-ième 16-12-18 à 15:59

carpediem

carpediem @ 16-12-2018 à 15:57

de toute façon utiliser le symbole radical avec des nombres complexes est un non-sens ...


Euh...

Posté par
matheuxmatoure : Racines n-ième 16-12-18 à 16:31

bonsoir

j'allais le dire Carpe !

le symbole "racine n-ième" n'est défini que pour les réels positifs...

à la rigueur on peut le définir pour tous les réels quand n est impair... mais en aucun cas il n'a de sens avec des complexes non réels en dessous ...

Posté par
lafol Moderateurre : Racines n-ième 16-12-18 à 16:32

Bonjour

Leffie33 @ 16-12-2018 à 12:44

Bonjour,
Dans un exercice je devais trouver les racines cubiques de -8, j'ai procédé ainsi :
J'ai utilisé la formule suivante:
W_{k}=\sqrt[n]{re^{i(\frac{\Theta +2k\pi }{n})}}


formule fausse ! la racine n-ième ne concerne que r ! dans l'exponentielle, elle a pris la forme du quotient par n

la bonne "formule" était \large W_{k}=\sqrt[n]{r}e^{i(\frac{\Theta +2k\Pi }{n})}

Posté par
luzakre : Racines n-ième 16-12-18 à 16:53

Bonsoir !

sanantonio312 @ 16-12-2018 à 13:46

Bonjour,
\sqrt[n]{re^{i\theta }}=\sqrt[n]{r}\times e^{\frac{i\theta }{n}}

1. Je croyais qu'on apprenait à tout le monde à ne jamais mettre des complexes non réels sous un radical. Mais si vous aimez les pièges, vous avez toute liberté !

Mes excuses à ceux qui ont déjà fait la même remarque !

2. La formule écrite signifie que le complexe r\,e^{i\theta} a une unique racine n^{\text{ième}} ce qui est un rien abusif pour n>1.
C'était aussi déjà dit, sous une autre forme par etniopal !

Posté par
Leffie33re : Racines n-ième 16-12-18 à 18:31

Bonsoir et bien je vous remercie énormément, quelle erreur !

Posté par
Pirhore : Racines n-ième 16-12-18 à 22:27

Bonsoir,

ce n'était pas ce qui était attendu, mais on pouvait aussi écrire:

z^3+8=0,~~ z^3+2^3=0

soit en factorisant : (z+2)[(z-1)^2-(\sqrt{3}~i)^2]

....

Posté par
Pirhore : Racines n-ième 16-12-18 à 22:36

oups!! il faut lire:

soit en factorisant : (z+2)[(z-1)^2-(\sqrt{3}~i)^2] \textcolor{red}{=0}

Posté par
luzakre : Racines n-ième 17-12-18 à 08:00

Bonjour !
On n'apprend plus que les racines nièmes d'un complexe s'obtiennent en multipliant l'une des racines par les racines nièmes de l'unité ?

Ici une racine cubique étant -2 les racines cherchées sont -2,\;-2j,\;-2j^2 avec j=e^{2i\pi/3}=\dfrac{-1+i\sqrt3}2


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