Niveau Maths sup

racines n-ièmes de 1

Posté par
lyonnais 10-09-05 à 19:29

Bonjour à tous :

Voila, j'essai de résoudre un exercice sur les racines n-ième de 1 et je bloque, pourriez-vous m'aider ?

résoudre l'équation d'inconnue x appartenant à C :

(1+ix)ⁿ = (1-ix)ⁿ

alors voila, je trouve $x = \frac{sin(k\pi/n)}{cos(k\pi/n)} = tan(k\pi/n)$ avec k $\in$ {0;1;3...;n-1}

Je suis sur de mon résultat et le problème n'est pas là. Voici la question qui me pose problème :

Combien de solutions distinctes obtient-on ? ( on comptera les cas n pair et n impair )

merci d'avance pour votre aide

Posté par re:racines n-ièmes de 1 10-09-05 à 20:00

Bonjour lyonnais;
tu as du voir que x est réel (puisque $|ix-1|=|ix+1|$ ) ainsi
$\fbox{\exists!\theta\in]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\\x=tan(\theta)}$ d'où en remplaçant
$\fbox{e^{in\theta}=e^{-in\theta}}$ ie $\fbox{e^{2in\theta}=1}$ et donc que $\fbox{\exists k\in\mathbb{Z}\\ \theta=\frac{k\pi}{n}}$ et avec l'encadrement de $\theta$ tu as que
$\fbox{-\frac{n}{2}<k<\frac{n}{2}}$
donc
si n pair tu as $\fbox{ -\frac{n}{2}+1\le k\le\frac{n}{2}-1}$ soit $\fbox{\frac{n}{2}-1-(-\frac{n}{2}+1)+1=n-1}$ solutions distinctes.
si n impair tu as $\fbox{ \frac{-n+1}{2}\le k\le\frac{n-1}{2}}$ soit $\fbox{\frac{n-1}{2}-\frac{-n+1}{2}+1=n}$ solutions distinctes.
Sauf erreur

Posté par re : racines n-ièmes de 1 10-09-05 à 23:06

merci beaucoup elhor :

En effet, j'avais vu que x était réel. En tout cas, je tiens à te remercier, parce que je n'arrivais pas à conclure, mais maintenant tout est clair ...

A+ sur l'
lyonnais

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