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Racines nieme de l unitée

Posté par
aya4545 23-12-21 à 19:44

bonjour
je suis bloquée sur cet exercice
les nombres  1; ai   avec n-1 \geq  i \geq  1    sont les racines n ieme de l unitée calculer  \[ \sum_{n=1}^{\ n-1}  \frac{1}{1-ai} \]
ce que j ai fait
posons  \frac{1}{1-ai}=ci  donc ai=1-\frac{1}{ci}
on a pour  tout i de [1 n-1]   (1-\frac{1}{ci})^n =1  donc   (ci-1)^n -ci^n =0
Donc  -C1ci^{n-1} + C2ci^{n-2 }+.........Cn-1 ci (-1)^{n-1}+(-1)^n=0
Je remplace les ci  par   \frac{1}{1-ai} mais sans  interet

Posté par
lakere : Racines nieme de l unitée 23-12-21 à 19:59

Bonsoir,

Citation :
calculer  \[ \sum_{n=1}^{\ n-1}  \frac{1}{1-ai} \]


Il y a quand même de gros problèmes d'écriture ici.
Pourrais-tu rectifier ?

Posté par
aya4545re : Racines nieme de l unitée 23-12-21 à 20:34

salut
les ai sont differents de 1   j ai dit  1;ai  (avec i compris entre 1et n-1) sont les racines n ieme de l unitée

Posté par
aya4545re : Racines nieme de l unitée 23-12-21 à 20:42

salut
je m excuse  calculer   \sum_{i=1}^{n-1}  \frac{1}{1-ai}  

Posté par
lakere : Racines nieme de l unitée 23-12-21 à 20:42

Citation :
Tu as dit ...


Très bien. J'avais bien compris.

Il reste que :

Citation :
\[ \sum_{n=1}^{\ n-1}  \frac{1}{1-ai} \]


n'a aucun sens.

Posté par
lakere : Racines nieme de l unitée 23-12-21 à 20:43

Ah ! messages croisés.
Je regarde ...

Posté par
lakere : Racines nieme de l unitée 23-12-21 à 21:31

a_k=e^{i\frac{2k\pi}{n,}}  avec k\in [\! [ 1,n-1]\!], tu peux prouver que :

\dfrac{1}{1-a_k}=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{i}{\tan\,\dfrac{k\pi}{n}}\right)

La somme : côté partie réelle, je pense qu'il est clair qu'elle vaut \dfrac{n-1}{2}. Côté partie imaginaire, il reste à prouver que c'est nul.

Posté par
aya4545re : Racines nieme de l unitée 24-12-21 à 12:04

merci lake
en utilisant la formule de l arc moitié on trouve le resutat que vous m avez donné
il est facile de de voir que la partie reelle de sigma 1/(1-ai ) de 1 à (n-1)est egale à (n-1)/2

Posté par
lakere : Racines nieme de l unitée 24-12-21 à 12:20

Oui et il n'est pas très difficile de montrer que \sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{\tan\,\frac{k\pi}{n}}=0

Posté par
aya4545re : Racines nieme de l unitée 24-12-21 à 14:32

salut
je vois que cotan(pi/n)+cotan((n-1)pi)/n=0   et ainsi de suite
est ce que je dois discuter suivant la parité de n

Posté par
lakere : Racines nieme de l unitée 24-12-21 à 15:19

Soit S_n=\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{\tan\,\dfrac{k\pi}{n}}

Comme \tan\,x=-\tan\,(\pi-x), on a :

S_n=-\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{\tan\,\dfrac{(n-k)\pi}{n}}

puis un changement d'indice dans la somme : j=n-k pour obtenir quasiment immédiatement S_n=-S_n

Posté par
aya4545re : Racines nieme de l unitée 24-12-21 à 15:29

Merci  lake

Posté par
lakere : Racines nieme de l unitée 24-12-21 à 15:31

De rien aya4545


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