Niveau Reprise d'études

racines nièmes d'un complexe non nul

Posté par
sgu35 10-06-21 à 21:25

Bonsoir,
mon livre donne une remarque sur les racines nièmes d'un complexe non nul :
On retrouve en particulier l'existence de deux racines carrées distinctes pour tout nombre complexe non nul.
Comme dans le cas des racines carrées, aucune parmi les n racines nièmes ne peut être particularisée par rapport aux autres.
Le symbole $\sqrt[n]{}$ reste réservé aux réels positifs.

Je rappelle que les n racines nièmes du complexe $\omega=re^{i\theta}$ sont les $\sqrt[n]{r} *e^{i(\theta/n + 2k\pi/n)}$

Pourriez-vous m'éclairer?

Posté par re : racines nièmes d'un complexe non nul 10-06-21 à 22:24

Bonsoir,

T'éclairer sur quoi ? Qu'est-ce qui te pose problème ?

Posté par re : racines nièmes d'un complexe non nul 10-06-21 à 22:33

Bonsoir,

Je ne suis pas sûr de bien comprendre la question, je fais quelques remarques. Le symbole $\sqrt[n]{\cdot}$ renvoie à une fonction définie sur $\mathbb{R}_+$ , et une fonction n'associe qu'une image par antécédent.

Il y a possibilité de prolonger cette fonction $\sqrt[n]{\cdot}$ sur $\mathbb{C}$ privé d'une demi-droite issue de 0. Par exemple, sur $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_-$ ,

$\sqrt[n]{z}:=\sqrt[n]{|z|}\;e^{\frac{iArg(z)}{n}}$

où $Arg(z)$ donne l'argument de $z$ dans $[-\pi,\pi[$ . Et encore une fois ce qu'on définit là est une fonction, donc on associe une seule racine n ème à un nombre complexe $z$ .

Posté par re : racines nièmes d'un complexe non nul 10-06-21 à 22:34

Bonsoir GBZM,

Je n'avais pas vu ton message, désolé. Je te laisse continuer.

Posté par re : racines nièmes d'un complexe non nul 10-06-21 à 22:58

Citation :
Comme dans le cas des racines carrées, aucune parmi les n racines nièmes ne peut être particularisée par rapport aux autres.

là je ne vois pas bien : que veut dire être particularisé?

Posté par re : racines nièmes d'un complexe non nul 10-06-21 à 23:30

Salut
Ce que j'ai compris :
Si on prend les racines carrés de $-1$ , c'est à dire $i$ et $-i$ , ces deux racines ont le même statut : c'est d'être une racine carré de -1, l'une n'est pas particulière par rapport à l'autre...
Dit autrement, il aurait pu faire l'économie de cette remarque qui ne sert absolument à rien, à part enfumer le lecteur. c'est juste un avis, je me trompe peut être...