Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau maths spé
Partager :

Racines réelles d'un polynome

Posté par
Serbiwni
22-05-22 à 21:23

Bonsoir,

J'aborde une question liée à celle que j'ai posé précédemment ce matin. On veut montrer que le polynôme f(x)=x^3 + ax +1, irréductible dans \Bbb Q (où a>1 est un entier naturel), ne possède pas 3 racines réelles dans son corps de décomposition.

Je trouve la question bizarre ou mal formulée (ou c'est moi qui comprends mal quelque chose). J'ai du mal à comprendre pourquoi l'on ajoute "dans son corps de décomposition". Si l'on montre que le polynôme n'admet pas 3 racines réelles distinctes, alors il n'en admettra 3 dans son corps de décomposition aussi. Je ne vois d'ailleurs pas trop l'utilité de nous avoir demandé précédemment de prouver que le polynôme est irréductible sur \Bbb Q (peut-être que les questions sont indépendantes).

Enfin bref, voilà ce que je propose : un argument d'analyse (même s'il s'agit d'un exercice d'algèbre ). Puisque le polynôme étudié est une bijection, il n'existe qu'une seule racine réelle r. Donc f s'écrit sous la forme f(x)=(x-r)Q(x) où Q(x) est un polynôme de degré 2. Si Q(x) admettait une racine réelle, alors elle serait aussi racine de f donc Q est irréductible. Cela montre que f n'admet qu'une seule racine réelle et pas 3. Par le théorème fondamental de l'algèbre, Q(x) admet deux racines s,t (pas forcément distinctes) et le corps de décomposition de f serait Q(r,s,t).

J'ai quand même de ne pas avoir bien répondu à la question qui me semble plutôt demander de considérer directement un corps de décomposition L de f puis de montrer qu'il ne contient pas 3 racines réelles.

Qu'en pensez-vous ?

Posté par
Serbiwni
re : Racines réelles d'un polynome 22-05-22 à 21:24

Les deux racines s,t sont complexes et non réelles bien entendu

Posté par
LeHibou
re : Racines réelles d'un polynome 22-05-22 à 23:19

Bonsoir,

Citation :
un argument d'analyse (même s'il s'agit d'un exercice d'algèbre)

Rassure-toi, le "théorème fondamental de l'algèbre" (tout polynôme sur a au moins une racine sur ) n'est pas démontrable, au moins à ce jour on n'en connait pas de démonstration, sans un minimum de recours à l'analyse

Posté par
GBZM
re : Racines réelles d'un polynome 22-05-22 à 23:19

Je suis d'accord que la question est très mal formulée.
Être une racine réelle dans le corps de décomposition de f n'a pas grand sens.

Posté par
Serbiwni
re : Racines réelles d'un polynome 23-05-22 à 03:46

LeHibou @ 22-05-2022 à 23:19


Rassure-toi, le "théorème fondamental de l'algèbre" (tout polynôme sur a au moins une racine sur ) n'est pas démontrable, au moins à ce jour on n'en connait pas de démonstration, sans un minimum de recours à l'analyse


C'est en effet assez curieux. Lorsque je parlais d'argument d'analyse, je me referais au fait que l'on montre qu'un polynôme de degré impair admet un racine avec le TVI (je n'utilise pas ce résultat en réalité mais j'y avais pensé en tout premier lieu). Néanmoins, je trouve cela très surprenant de ne pas avoir de preuve algébrique du dénommé théorème fondamental de l'algèbre, le comble ! J'étais pourtant persuadé qu'il en existait une !
Après m'être brièvement documenté, il se trouve que des histoires de continuité interviennent toujours à un moment lorsque l'on essaye de prouver cet énoncé. J'avoue que je suis assez stupéfait là, hâte d'en savoir plus

Posté par
GBZM
re : Racines réelles d'un polynome 23-05-22 à 08:29

Bonjour,

Ce qu'on utilise pour le "théorème fondamental de l'algèbre", c'est le fait que \R est un corps ordonné tel que tout polynôme qui change de signe admet une racine (TVI pour les polynômes). Il y a plein d'autres corps que \R qui vérifient cette propriété, ce sont les corps réels clos. La démonstration du "théorème fondamental de l'algèbre" pour les corps réels clos (à savoir que si R est un corps réel clos, alors tout polynôme à coefficients dans R a une racine dans R[i]=R[X]/(X^2+1)), qui est une démonstration non triviale, ne fait pas intervenir d'analyse.

Posté par
Serbiwni
re : Racines réelles d'un polynome 30-05-22 à 20:31

Bonsoir,

Toujours dans le même thème, je souhaite montrer mon raisonnement pour un problème portant sur le même polynôme
donc de type f(x)=x^3 + ax + 1a \in \Bbb N\backslash \{ 0 \} qui est irréductible sur \Bbb Q. Je souhaite montrer que \frac {\Bbb Q [x]}{(f)} n'est pas une extension galoisienne de \Bbb Q.

Etant donné que le polynôme n'admet qu'une seule racine réelle \alpha, je sais que \frac {\Bbb Q [x]}{(f)} \cong \Bbb Q(\alpha) \subseteq R. Par un calcul préalable, je sais que \frac {\Bbb Q [x]}{(f)} est une extension de degré 3 des rationnels, pour montrer qu'elle n'est pas galoisienne, je dois montrer que le groupe \text{Gal}(\Bbb Q(\alpha) \backslash \Bbb Q) n'est pas de cardinal 3.

Pour ce faire, il suffit de constater que puisque l'homomorphisme \text{Gal}(\Bbb Q(\alpha) \backslash \Bbb Q) \to S_1 est injectif alors \lvert \text{Gal}(\Bbb Q(\alpha) \backslash \Bbb Q) \rvert =1\neq 3.

Cela me semble un peu trop facile (en réalité le polynome admet deux autres racines complexes mais j'ai choisi volontairement de les ignorer et de considérer uniquement l'extension \Bbb Q \subseteq \Bbb R). Mon raisonnement est-il valable ?

Posté par
GBZM
re : Racines réelles d'un polynome 30-05-22 à 23:25

Je dirais plutôt qu'il y a un unique plongement de \Q(\alpha)=\Q[x]/(f) dans \R, puisque f a une seule racine réelle.  Dire que \Q(\alpha)\subset \R n'a pas grand sens, puisque toute extension de degré 3 de \Q se plonge dans \R.
Le fait qu'il y a un unique plongement de \Q(\alpha) dans \R montre qu'il y a un seul automorphisme de \Q(\alpha), à savoir l'identité : s'il y avait un autre automorphisme, la composition avec celui-ci donnerait un autre plongement dans \R.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1510 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !