Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Raisonnement Correct ?

Posté par
FerreSucre 01-06-23 à 10:29

Hello à tous, j'avais un petit problème, et y'a un passage de mon raisonnement je me demandais si c'était correct et si oui comment le justifier proprement.
Voici la chise

$\sum_{k=1}^{n}\lambda_k'(t)(\lambda_k(t) - r)(\lambda_k (t)^{m-2}-j) = 0$ et ce $\forall{r,j}\in \mathbb{R}$ ce qui implique obligatoirement $\lambda_k'(t) =0$ ?? pour tout t

Les $\lambda_k(t)$ sont n fonctions.

Ducoup ma question c'était c'est comme , ça doit marcher pour tout r et j, la seule façon d'avoir 0, c'est peut-être seulement d'avoir $\lambda_k'(t) = 0$ pour tout k et t?

Est-ce correct ?

Posté par re : Raisonnement Correct ? 01-06-23 à 14:24

Petite précision, $\lambda_k(t)$ est une fonction de R dans C, et r et j peuvent appartenir à C au lieu de simplement R.

Merci d'avance si quelqu'un m'aide

Posté par re : Raisonnement Correct ? 01-06-23 à 20:48

salut

FerreSucre @ 01-06-2023 à 10:29

Ducoup ma question c'était c'est comme , ça doit marcher pour tout r et j, la seule façon d'avoir 0, c'est peut-être seulement d'avoir $\lambda_k'(t) = 0$ pour tout k et t?

je dirai plutôt : avoir $\lambda_k' = 0$ pour tout k et t ? est une solution

car il suffit de prendre $\lambda_n'(t)(\lambda_n(t) - r)(\lambda_n (t)^{m - 2} - j) = - \sum_{k=1}^{n - 1}\lambda_k'(t)(\lambda_k(t) - r)(\lambda_k (t)^{m-2}-j) = 0$ pour que $\sum_{k=1}^{n}\lambda_k'(t)(\lambda_k(t) - r)(\lambda_k (t)^{m-2}-j) = 0$

Posté par re : Raisonnement Correct ? 02-06-23 à 09:43

Hmm oui mais peut-être qu'aucune fonctions lambda n ne vérifie ça ! Pour tout m,j,r…

Mais bon revenons au problème de base au final ducoup si ça ne sert à rien, je dois montrer qu'avec : $\sum_{k=1}^{n}\lambda_k^m(t) = C_m$

Ou $C_m$ est une constante indépendante de t, on a obligatoirement pour tout k $\lambda_k(t)$ est constant et ne dépend donc pas de t.
Des idées ? Ça nous fait un système avec une infinité d'équations mais.. comment faire

Posté par re : Raisonnement Correct ? 02-06-23 à 13:19

tu dois montrer ... et si tu nous donnais l'énoncé exact ?

une somme de fonctions qui est constante n'implique pas que toutes les fonctions soient constantes ...

la réciproque oui à nouveau ...

à moins qu'il y ait d'autres informations que nous n'avons pas ...

Posté par re : Raisonnement Correct ? 02-06-23 à 13:27

Voici l'énoncé et ce que j'ai fais :

Considérons deux applications $\text{F}, \text{G} : \mathbb{R} \longrightarrow \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ dérivables et vérifiant, pour tout réel t, $\text{F}'(t) = \text{F}(t) \text{G}(t) - \text{G}(t) \text{F}(t)$ . Il s'agit de montrer que le spectre de la matrice $\text{F}(t)$ , pour un réel t donné, est en fait indépendant de t (donc que les valeurs propres de cette matrice sont les mêmes pour n'importe quel réel t).

Avec ça on obtient en manipulant l'égalité :

$(F'(t))^n = F(t)^nG(t)-G(t)F(t)^n$

Et :

$tr(F'(t)^n) = 0$ Et comme $tr(F'(t)) = tr(F(t))'$ on a alors :

$tr(F(t)^m) = \sum_{k=1}^{n}\lambda_k(t)^m$

$tr(F(t)^m)' = m\sum_{k=1}^{n}\lambda_k(t)'\lambda_k(t)^{m-1}$

Et à partir de là je coinçais.

Ou $\lambda_k(t)$ sont les valeurs propres de F(t).

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