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Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes

Posté par
Erxast 05-10-17 à 22:20

Bonjour,
Je bloque sur un exercice sur les complexes je vous donne le sujet :
Trouver par analyse/synthèse les trois complexes a , b , c de module 1 tels que :

\begin{cases} & \ a+b+c =1 \\ & \ abc =1 \end{cases}

Donc dans un premier temps j'ai pensé au fait que si on cherche deux complexes dont la somme S \epsilon  C et le produit P \epsilon  C alors c'est deux nombres complexes sont les solutions de X^2 - SX + P = 0
Mais alors soit je fais mal mes calculs soit ce n'est pas le bon chemin,
Dans un deuxième temps j'ai essayer de remplacer a, b , c par des complexes de module 1, je peux donc en déduire que :
arg(a)+arg(b)+arg(c)= 0 + 2\pi k
Mais j'avoue que là je bloque, je ne sais pas trop quoi faire et j'avoue qu'un peu d'aide serais la bienvenue
Amicalement

Posté par
jsvdbre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 05-10-17 à 22:43

Bonsoir Erxast
Tu peux écrire tes complexes a, b et c sous la forme d + ik et voir à identifier ce qu'il faut.
Tu peux aussi regarder les conjugués ...

Posté par
verdurinre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 05-10-17 à 22:52

Bonsoir,
il y a une infinité de triplets solutions.
Tu peux développer (z-a)(z-b)(z-c) pour voir que toutes les solutions de l'équation
z^3-z^2+kz-1=0
où k est un complexe quelconque conviennent.

Posté par
Razesre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 06-10-17 à 08:45

\begin{cases} & \ a+b+c =1 \\& \ abc =1 \\&\left | a \right |=\left | b \right |=\left | c \right |=1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}&a=e^{i\theta_a};b=e^{i\theta_b};c=e^{i\theta_c}\\& \theta_c=-\theta_a-\theta_b\\& e^{i\theta_a}+e^{i\theta_b}+e^{-i\theta_a-i\theta_b}=1\end{cases}\Leftrightarrow

Ce qui revient à résoudre l'équation:

e^{i\theta_a}+e^{i\theta_b}+e^{-i\theta_a-i\theta_b}=1\Leftrightarrow e^{i2\theta_a}+e^{i\theta_a}(e^{i\theta_b}-1)+e^{-i\theta_b}=0\\ \\ \Delta =(e^{i\theta_b}-1)^{2}-4e^{-i\theta_b}=e^{i2\theta_b}-2e^{i\theta_b}+1-4e^{-i\theta_b}=e^{-i\theta_b}\left (e^{i3\theta_b}-2e^{i2\theta_b}+e^{i\theta_b}-4\right )

Le système admet une infinité de solution.

On peut aussi remarquer que le système admet parmi ses solutions les racines 4èmes de l'unité qui sont -1, 1, -i,i, le -1 apparait explicitement dans le système d'équations:   -1+a+b+c =0; (-1)abc =-1


Donc: a=1, b=-i, c=i et c'est cyclique.

Posté par
Razesre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 06-10-17 à 09:03

\begin{cases} & \ a+b+c =1 \\ & \ abc =1 \end{cases}

\left | a \right |=\left | b \right |=\left | c \right |=1

On passe au conjugué.

\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}=1\Leftrightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow \dfrac{ab+bc+ca}{abc}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=1

Donc solution de P(z)=0 avec P(z)=(z-a)(z-b)(z-c)=z^3-(a+b+c)z^2+(ab+bc+ca)z-abc; Donc P(z)=z^3-z^2+z-1=(z-1)(z^2+1)=(z-1)(z+i)(z-i)

Donc : a,b,c = 1,i,-i

Posté par
Razesre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 06-10-17 à 09:07

Avec ma 1ere proposition (argument ) ça marche mais il faut passer par l'équation conjuguée.

Posté par
Razesre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 06-10-17 à 09:52

1ere proposition

\begin{cases} & \ e^{i\theta_a}+e^{i\theta_b}+e^{-i\theta_a-i\theta_b}=1 \\ & \ e^{-i\theta_a}+e^{-i\theta_b}+e^{i\theta_a+i\theta_b}=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} & \ \cos\theta_a+\cos\theta_b+\cos(\theta_a+\theta_b)=1 \\& \ \sin\theta_a+\sin\theta_b-i\sin(\theta_a+\theta_b)=0 \end{cases} \Leftrightarrow

\begin{cases} & \ \theta_b=-\theta_a \left [ 2\pi\right ]\\& \ \cos\theta_a=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} & \ \theta_a=\pm\frac{\pi }{2} \left [ 2\pi\right ] \\& \ \theta_a=\mp\frac{\pi }{2} \left [ 2\pi\right ] \end{cases}


\theta_c=-\theta_a-\theta_b=0 \left [ 2\pi\right ]

Donc: a,b,c=1,-i,i

Posté par
veledare : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 06-10-17 à 14:16

bonjour,
>>verdurin
tu as oublié de traduire  que les trois nombres étaient unimodulaires  d'où le k quelconque

Posté par
Razesre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 07-10-17 à 02:16

Bonsoir veleda,

Comment traduire ça?

Posté par
veledare : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 07-10-17 à 07:06

boniour,
Razes
c'est bien ce que tu as fait en cherchant les  nombres solutions sous la forme e^{i\theta}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 07-10-17 à 10:00

Bonjour à tous,
Oui, Razes, ta solution de 9h03 avec le conjugué est très jolie

Je trouve qu'imposer ce " analyse/synthèse " comme méthode n'est pas top, car ça exige d'être maladroit...
On peut penser que l'auteur de l'exercice n'a pas pensé à ton astuce du conjugué.

Posté par
alainpaulre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 07-10-17 à 11:09

Bonjour,

Oui,nous pouvions remarquer aussi que les 3 points sont situés sur le cercle trigonométrique de rayon 1,la somme de leurs abscisses = 1 . . .


Alain

Posté par
etniopalre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 07-10-17 à 12:04

Pourquoi  " l'  analyse/synthèse     n'est pas top, car ça exige d'être maladroit.." ?.

Si on ne    procède pas par équivalences successives ,     l'  analyse/synthèse     est nécessaire .

Posté par
Erxastre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 07-10-17 à 15:38

Bonjour,
Tout d'abord merci pour vos réponses grâce a vous j'ai pus bien avancé cependant je reste tout de même bloqué a un dernière endroit, je n'arrive pas a passé de la première accolade a la seconde :

Razes @ 06-10-2017 à 09:52


\begin{cases} & \ \cos\theta_a+\cos\theta_b+\cos(\theta_a+\theta_b)=1 \\& \ \sin\theta_a+\sin\theta_b-i\sin(\theta_a+\theta_b)=0 \end{cases}

\begin{cases} & \ \theta_b=-\theta_a \left [ 2\pi\right ]\\& \ \cos\theta_a=0 \end{cases}  



J'ai beau essayer de résoudre le système je n'arrive pas a isoler un des deux inconnues, pourriez vous simplement me donner une piste pour y arriver,
En tout cas merci beaucoup pour votre aide et votre temps jusqu'a maintenant
Amicalement

Posté par
etniopalre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 07-10-17 à 17:18

Ce n'est pas la peine de s'embarquer dans tous ces calculs

  Si( a,b,c)   3 vérifie  |a| = |b| = |c| = 1 et  a + b + c  = abc = 1  on a :
(X - a)(X - b)(X - c) = ....= X3 - X² + X - 1 = (X² + 1)(X - 1) .
a , b et c d'une part et 1 , i , -i sont les racines d'un même polynôme de degré 3 .

Donc : (a,b,c)   {1 , i , -i}3 (ensemble ayant 27 éléments .

  La réciproque est évidente .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 07-10-17 à 18:35

@etniopal,
D'accord pour ta critique de 12h04. Effectivement aucune des démarches envisagées ne procède par équivalence. D'où le "analyse/synthèse" toujours nécessaire.

Par contre, les 27 éléments de {1 , i , -i}3 ne me plaisent pas trop.

Les complexes a, b , c sont les 3 solutions d'une équation. Les 3 solutions de cette équation sont 1, i et -i .
(a,b,c) est donc une permutation de (1,i,-i) . 3! possibilités ; donc 6 triplets solutions possibles. Il reste à les vérifier ; ce qui est élémentaire.

Posté par
Razesre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 07-10-17 à 20:35

Bonsoir,

etniopal @ 07-10-2017 à 17:18

Ce n'est pas la peine de s'embarquer dans tous ces calculs

  Si( a,b,c)   3 vérifie  |a| = |b| = |c| = 1 et  a + b + c  = abc = 1  on a :
(X - a)(X - b)(X - c) = ....= X3 - X² + X - 1 = (X² + 1)(X - 1) .
a , b et c d'une part et 1 , i , -i sont les racines d'un même polynôme de degré 3 .

Donc : (a,b,c)   {1 , i , -i}3 (ensemble ayant 27 éléments .

  La réciproque est évidente .

a) Quels calculs?  Ce que j'ai proposé à   06-10-17 à 09:03 est nécessaire, je ne pense pas qu'il y a un calcul superflu et que toutes les étapes sont nécessaires. Par contre tu n'a rien proposé de nouveaux, même que tu essayé d'alléger en omettant une phase importante (calcul de ab+bc+ca) et tu as sorti le polynôme recherché comme par enchantement.

Pour ce qui du nombre de "solutions" car a,b,c jouent un rôle symétrique que tu propose est faux, le nombre est 3*2*1=6 seulement. et qui sont tel que :

(a,b,c)\in \{(1,i,-i), (1,-i,i), (i,-i,1), (i,1,-i), (-i,i,1), (-i,1,i)\}

Posté par
Razesre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 08-10-17 à 00:21

Bonsoir Erxast,

Raisonnement d'analyse synthèse est le titre de ton post, essais de profiter de ce qui a été discuté et développé afin d'appliquer le raisonnement d'analyse synthèse.


Analyse:

\begin{cases} & \ a+b+c =1 \\& \ abc =1 \\&\left | a \right |=\left | b \right |=\left | c \right |=1 \\&\ a,b,c \in \mathbb{C} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}&a=e^{i\theta_a};b=e^{i\theta_b};c=e^{i\theta_c}\\& \theta_c=-\theta_a-\theta_b\\ & e^{i\theta_a}+e^{i\theta_b}+e^{-i\theta_a-i\theta_b}=1\end{cases} \\ \Leftrightarrow \begin{cases} &a=e^{i\theta_a};b=e^{i\theta_b};c=e^{i\theta_c}\\& \theta_c=-\theta_a-\theta_b\\& e^{i\theta_a}+e^{i\theta_b}+e^{-i\theta_a-i\theta_b}=1\\& e^{-i\theta_a}+e^{-i\theta_b}+e^{i\theta_a+i\theta_b}=1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} &a=e^{i\theta_a};b=e^{i\theta_b};c=e^{i\theta_c}\\& \theta_c=-\theta_a-\theta_b\\& \ \cos\theta_a+\cos\theta_b+\cos(\theta_a+\theta_b)=1 \\& \ \sin\theta_a+\sin\theta_b-i\sin(\theta_a+\theta_b)=0\end{cases}\Leftrightarrow \\ \\ \begin{cases} &a=e^{i\theta_a};b=e^{i\theta_b};c=e^{i\theta_c}\\& \theta_c=-\theta_a-\theta_b\\& \ \sin(\theta_a+\theta_b)=0 \\ & \ \sin\theta_a+\sin\theta_b=0 \\ & \ \cos\theta_a+\cos\theta_b+\cos(\theta_a+\theta_b)=1\end{cases}

\sin(\theta_a+\theta_b)=0 \Rightarrow \theta_a+\theta_b=k\pi ;k\in \mathbb{Z}\Rightarrow \theta_a=-\theta_b+k\pi ;k\in \mathbb{Z}

Remplace dans l'équation (4) puis (5) étudie les cas possibles et continue

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 08-10-17 à 08:40

Bonjour,
Franchement, je préfère nettement l'analyse sans . Voir le message de Razes du 6 à 9h03.

Posté par
Erxastre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 08-10-17 à 11:39

C'est bon je suis enfin arrivé à résoudre le système, il ne me reste plus qu'a bien rédiger tout ca !
En tout cas merci à vous tous (et tout particulièrement à Razes) pour votre  patience et votre temps,
En vous souhaitant une excellente continuation
Erxast

Posté par
jsvdbre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 09-10-17 à 09:11

A mon sens, l'introduction de l'Argument et/ou d'un quelconque polynôme me semble(nt) inutile.

Razes @ 06-10-2017 à 09:03

On passe au conjugué.

\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}=1\Leftrightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow \dfrac{ab+bc+ca}{abc}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=1


Et on passe directement, les hypothèses aidant, à :

a(b+c) + 1/a = 1 d'où

a^2(1-a) + (1-a) = 0

(a^2+1)(1-a) = 0

a= 1~ou~i~ou~-i

Les trois variables, distinctes entre elles et ayant des rôles symétriques, donnent  \{a,b,c\}=\{1,i,-i\}

Posté par
alainpaulre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 09-10-17 à 10:17

Bonjour,

La 1 ère ligne est posée un peu rapidement.


Alain

Posté par
jsvdbre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 09-10-17 à 10:52

non, j'ai pris mon temps ...

Posté par
Razesre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 09-10-17 à 15:41

Dégraissons tout ça.

\a+b+c =1; abc =1

\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}=1\Leftrightarrow \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow \dfrac{ab+bc+ca}{abc}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=1

(z-a)(z-b)(z-c)=z^3-(a+b+c)z^2+(ab+bc+ca)z-abc=z^3-z^2+z-1=(z-1)(z^2+1)=(z-1)(z+i)(z-i)

Donc : (a,b,c)\in \{(1,i,-i), (1,-i,i), (i,-i,1), (i,1,-i), (-i,i,1), (-i,1,i)\}

Mais, J'ai horreur d'une résolution aussi sèche même si elle courte et sincèrement je préfère le bifteck avec de la sauce.

Posté par
jsvdbre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 09-10-17 à 16:27

Donc ce n'est pas "dégraissons tout ça" mais "engraissons tout ça" 😅.

Plus sérieusement : comment, après ab + ac + bc = 1, quelqu'un qui n'aurait pas l'idée du polynôme pourrait-il l'avoir ici (je les connais mes élèves, ça ne leur vient pas tout de suite à l'idée : l'idee fait sortie du chapeau, nonobstant le fait qu'elle soit exposée dans le post initial) alors que à la factorisation pour ne plus faire apparaître que "a" est plus naturelle.
Ceci étant, la sauce sur le  bifteck , je prends aussi...😋

Posté par
Razesre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 09-10-17 à 18:52

MDR
Je suis désolé que tes élèves qui sont en Maths Sup, je suppose, n'aient jamais effectué, au Lycée, le développement d'une expression du style (x-a)(x-b)(x-c).

Je suis aussi désolé que les expressions symétriques suivantes n'évoquent rien pour eux

a+b+c =1 \\ ab+bc+ca=1 \\ abc =1

Effectivement, ceux qui ont obtenu l'équation ab+bc+ca=1 et qui n'ont rien remarqué (ce n'est pas de l'ironie) vont essayer de transformer le système de 3 équations à trois inconnues pour obtenir 1 équation à 1 inconnue.

Bon courage avec tes élèves.

Posté par
jsvdbre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 09-10-17 à 19:14

Bon aller, je botte en touche. (Je me connais : je pourrais disserter des heures en croisant le fleuret ...)

Posté par
Razesre : Raisonnement d'analyse synthèse pour déterminer 3 complexes 09-10-17 à 19:33

Moi aussi, de toute façon j'ai botté avant toi.


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