Niveau autre

Raisonnement mathématique

Posté par
Faudy 07-06-15 à 00:53

Existe-il $\alpha,\beta$ $\mathbb{Q}$ tel que $\alpha^\beta \in \mathbb{Q}$ ?

édit Océane : forum modifié

Posté par re : Raisonnement mathématique 07-06-15 à 02:14

$e^{\ln2}$ ?

Posté par re : Raisonnement mathématique 07-06-15 à 07:38

YES ! Thanks

Posté par re : Raisonnement mathématique 18-06-15 à 14:03

Rappelons un gadget classique :
1°) $\sqrt{2}$ est irrationnel (plus facile à montrer que le fait que $e$ est irrationnel ou que $\ln 2$ est irrationnel).
2°) $\left(\sqrt2^{\sqrt2}\right)^{\sqrt2}= 2$ est rationnel.
3°) Ou bien $\sqrt{2}^\sqrt{2}$ est rationnel, et on a trouvé deux irrationnels $\alpha=\beta=\sqrt{2}$ tels que $\alpha^\beta$ est rationnel, ou bien $\sqrt{2}^\sqrt{2}$ est irrationnel, et on a aussi trouvé deux irrationnels $\alpha=\sqrt{2}^\sqrt{2}$ et $\beta=\sqrt{2}$ tels que $\alpha^\beta$ est rationnel.
A tous les coups on gagne !