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Niveau terminale
Raisonnement par l'absurde
Posté par abcd28
Bonjour,
Mon exercice est si 3 divise x²+y² est-ce que x et y sont forcément multiples de 3 ?
Je pensais faire un raisonnement par l'absurde en supposant que x² puisse s'écrire (3k+1)²
donc je trouvais que x² = 3(3k²+2k²)+1
et si y² s'écrit aussi (3k'+1)
finalement on trouve à la fin 3|x²+y² = 3|3q (si je regroupe tous les facteurs de 3) +2
et est-ce qu'après j'ai le droit de dire que ça équivaut à dire que 3|2 et que par conséquent c'est absurde et donc faux ?
Evidemment, je prévois de continuer en étudiant tous les cas possibles.
Merci d'avance
Bonjour,
Si tu tiens à faire un raisonnement par l'absurde:
Si n'est pas multiple de 3, alors son carré
est de la forme
(à montrer).
et sera un multiple de 3 si et seulement si
est de la forme
Or un carré n'est jamais de la forme
lake @ 11-02-2018 à 13:25
Bonjour,
Si tu tiens à faire un raisonnement par l'absurde:
Si
n'est pas multiple de 3, alors son carré 
est de la forme 
(à montrer).
et
sera un multiple de 3 si et seulement si 
est de la forme 
Or un carré n'est jamais de la forme
Bonjour,
Si tu tiens à faire un raisonnement par l'absurde:
Si
et
Or un carré n'est jamais de la forme
Merci,
et donc on concluerait en disant que y²+x² s'écrit 3kk'+ 3 et donc que 3|x²+y² si j'ai bien compris mais comment prouver qu'un carré ne peut pas être égal à 3k+2 ?
On a montré que si l'un des deux entiers ou
n'était pas multiple de 3, alors
ne l'était pas non plus.
La conclusion (par contraposition) est que si est multiple de 3, alors
et
le sont aussi.
Citation :
mais comment prouver qu'un carré ne peut pas être égal à 3k+2 ?
mais comment prouver qu'un carré ne peut pas être égal à 3k+2 ?
Les congruences modulo 3 avec une disjonction des cas ?
ou je peux simplement dire que si x s'écrit k+1 alors x²= 3q+1 (j'ai fait les calculs au brouillon)
ou 2ème cas, si X s'écrit K+2 alors x²=3q+1 ?
Non, il faut envisager les 3 cas:
et regarder dans chacun des 3 cas ce qui se passe pour les carrés. (jamais de la forme )
Citation :
Si n'est pas multiple de 3, alors son carré est de la forme (à montrer).
et sera un multiple de 3 si et seulement si est de la forme
Or un carré n'est jamais de la forme
Si
et
Or un carré n'est jamais de la forme
Là, on a supposé que
Et il faut envisager tous les cas possibles pour
Désolé mais par rapport à la consigne je ne comprends pas. 
C'est bien x et y qui sont tous les deux différents d'un multiple de 3 ?
On a procédé par contraposition:
Montrer que:
si 3 divise
alors 3 divise
et 3 divise
revient à montrer la contraposée de , à savoir:
si 3 ne divise pas
ou si 3 ne divise pas
, alors 3 ne divise pas
On démontre en supposant par exemple que 3 ne divise pas
et en montrant qu'alors 3 ne divise pas
(sans aucune hypothèse sur
)
Une fois prouvé,
l'est aussi.
Mais en s'y prenant autrement, on peut, par disjonction des cas sur et
modulo 3, montrer directement