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Raisonnement Par l'absurde

Posté par
yassineben200
22-10-19 à 22:09

Bonjour,
Comment montrer que:

\frac{n}{n+2}
(on suppose qu'elle appartient a Q alors elle s'écrit sous la forme a/b etc..?)
mais puis je sais pas quoi faire ...
Merci d'avance.

Posté par
yassineben200
re : Raisonnement Par l'absurde 22-10-19 à 22:10

que \frac{n}{n+2}Q

Posté par
sanantonio312
re : Raisonnement Par l'absurde 23-10-19 à 17:58

Bonjour,
Si tu dois faire cette preuve par l'absurde, tu dois effectivement commencer par:
Supposons que \sqrt{\frac{n}{n+2}}Q

Posté par
yassineben200
re : Raisonnement Par l'absurde 23-10-19 à 18:30

bonsoir, c'est ce que j'ai dis entre parentheses)
j'ai demander quoi faire apres

Posté par
carpediem
re : Raisonnement Par l'absurde 23-10-19 à 18:34

salut

\sqrt {\dfrac n {n + 2}} = \dfrac p q \iff nq^2 = (n + 2)p^2 \iff n(q - p)(q + p) = 2p^2 
 \\  (*)

si on suppose p et q premiers entre eux alors p et q vérifient :

a/ ils n'ont pas même parité

b/ ils sont impairs (et premiers entre eux)


dans le cas a) p - q et p + q sont alors impairs ainsi que leur produit donc n divise 2

je te laisse finir ce cas


dans le cas b/ p - q et p + q sont alors tous les deux pairs et leur produit est multiple de 4 donc  (*)   \iff 4kn = p^2

ce qui est absurde ...

Posté par
carpediem
re : Raisonnement Par l'absurde 23-10-19 à 18:37

bon peut-être revoir le cas a/ ....

Posté par
yassineben200
re : Raisonnement Par l'absurde 23-10-19 à 20:51

j'ai remplacer par 2k pour le cas pair
et j'ai eu 2nk2-2nK2=p2

(j'ai pas compris pourquoi n divise 2)

Posté par
yassineben200
re : Raisonnement Par l'absurde 23-10-19 à 20:56

j'ai viens de comprendre pourquoi n divise 2
mais peux tu m'explique quesque je dois trouver en utilisant la parité..

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Raisonnement Par l'absurde 24-10-19 à 14:13

Bonjour,
Mon petit grain de sel :
Il faudrait un énoncé complet. Il manque \; n ??

n = 0 \;donne un rationnel.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Raisonnement Par l'absurde 24-10-19 à 14:46

Une autre piste (en supposant n * dans l'énoncé) :
nq2 = (n+2)p2
Si p et q sont premiers entre eux, alors il en est de même pour p2 et q2.
Donc p2 divise n. Et q2 divise n+2.
n = ap2 et n+2 = bq2.

Posté par
carpediem
re : Raisonnement Par l'absurde 24-10-19 à 14:58

oui peut-être ... mais je ne vois pas comment m'en sortir quand même ...

mon cas a / : ... donc 2 divise n ...

on pose n = 2k et alors (*) \iff kq^2 = (k + 1)p^2

ouais bof ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Raisonnement Par l'absurde 24-10-19 à 15:09

Je pense que ma piste est bonne.
Je laisse à yassineben200 le plaisir de chercher comment continuer.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Raisonnement Par l'absurde 25-10-19 à 21:08

Bonsoir,
Je ne vais plus être disponible pendant quelques jours.
Donc je précise ma piste.

Si \; \sqrt {\dfrac n {n + 2}} = \dfrac p q avec \; p \; et \; q \; entiers naturels non nuls premiers entre eux
alors :
p 1
q > p \; car \; \dfrac n {n + 2} < 1 ; donc \; q p+1 .

nq2 = (n+2)p2 . Donc \; q2 \; divise \; (n+2)p2 .
Mais \; q2 \; est premier avec \; p2 \; ; d'après le théorème de Gauss, \; q2 \; divise \; n+2 .
n+2 = aq2 avec \; a 1 .
En remplaçant dans \; nq2 = (n+2)p2 , on obtient \; n = ap2 .
D'où \; a(q2-p2) = 2 .

Or démontrer \; a(q2-p2) 3 n'est pas très difficile.



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