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Niveau autre
Raisonnement par l'absurde: preuve.
Posté par 1 Schumi 1
Bonjour à tous,
C'est parti avec ma première question bizarre! Vous inquiétez pas, yen aura certainement d'autres durant ces vacances.
Bon alors voilà. Dans le secondaire, les deux raisonnements qui ont "la cote", tout le monde les connait, c'est le raisonnement par l'absurde et le raisonnement par récurrence.
Quant au deuxième, pas de souci, il se démontre facilement par le premier.
Mais le raisonnement par l'absurde, comment le démontre-t-on? Ou autrement formulé : Qu'est ce qui nous prouve que c'est un raisonnement valable?
On l'admet? C'est un axiome d'un théorie que je connais pas ? Ou ...?
Merci d'avance.
Ayoub.
Je ne suis pas sûr a 100% de ce que je vais raconter, mais j'espere que ca peut t'aider:
As-tu entendu parler des "tables de vérité"?
Le raisonnement par l'absurde est le suivant : si (non P implique Q) et (non P implique non Q) alors P est vrai. En effet, non P ne peut pas être vrai, donc P est vrai. (les tables de vérité a l'appuit)
Justin
Mettons que tu veuilles montrer que la propiété P est fausse. Tu supposes donc qu'elle est vraie (hypothèse).
À partir de cette hypothèse + des autres données que tu as (pas plus d'une hypothèse à la fois), tu appliques des théorèmes, propositions,... (que tu sais vrais).
Tu aboutis à une contradiction (ie qqch de faux).
Si ton hypothèse était vraie, alors à partir d'un truc vrai, par implications successives, tu aurais déduit un truc faux. Impossible car le faux n'implique jamais le vrai (c'est dans la "table de vérité" de l'implication).
Donc ton hypothèse est fausse, et la propriété P aussi.
Le point le plus "axiomatique" là-dedans est la table de vérité de l'implication.
Hello sarriette 
. L'article de wikipédia est effectivement bien fait
Au fait Schumi, tu as oublié le troisième mode de raisonnement ayant "la cote" --> celui par contraposée
Bonjour
je te recopie ce qu'on poiuvait lire dans les années 1970 dans un livre de seconde (collection Aleph1, pour les plus de 40 ans ):
Citation :
Méthodes principales de raisonnement
* Soient A et B deux propositions.
Si [A et (A implique B)] est vraie, alors B est vraie. En effet, si (A implique B) est vraie chaque fois que A est vraie, alors B est vraie.
* Soient A et B deux propositions.
Si [(A implique B) et (non B)] est vraie, alors A est fausse. En effet, si A était vraie, alors B serait vraie, ce qui est contradictoire avec l'hypothèse.
Cette règle s'appelle règle de raisonnement par contraposition et sert de support à la technique de raisonnement que l'on appelle raisonnement par l'absurde.
Par exemple, soit à démontrer que la proposition A est fausse. On suppose alors que A est vraie. On tire toutes les conséquences de cette hypothèse, jusqu'à trouver par déduction une proposition B manifestement fausse (contradictoire). On en déduit alors que A est fausse.
* Pour démontrer qu'une proposition de la forme :
il existe x dans E tel que P(x)
est vraie, il suffit de trouver un élément de E qui rende vraie la proposition P(x).
Pour démontrer qu'une proposition de la forme :
Pour tout x dans E, P(x)
est fausse, il suffit de trouver un élément de E qui rende fausse la proposition P(x). Un tel élément s'appelle un contre-exemple
Méthodes principales de raisonnement
* Soient A et B deux propositions.
Si [A et (A implique B)] est vraie, alors B est vraie. En effet, si (A implique B) est vraie chaque fois que A est vraie, alors B est vraie.
* Soient A et B deux propositions.
Si [(A implique B) et (non B)] est vraie, alors A est fausse. En effet, si A était vraie, alors B serait vraie, ce qui est contradictoire avec l'hypothèse.
Cette règle s'appelle règle de raisonnement par contraposition et sert de support à la technique de raisonnement que l'on appelle raisonnement par l'absurde.
Par exemple, soit à démontrer que la proposition A est fausse. On suppose alors que A est vraie. On tire toutes les conséquences de cette hypothèse, jusqu'à trouver par déduction une proposition B manifestement fausse (contradictoire). On en déduit alors que A est fausse.
* Pour démontrer qu'une proposition de la forme :
il existe x dans E tel que P(x)
est vraie, il suffit de trouver un élément de E qui rende vraie la proposition P(x).
Pour démontrer qu'une proposition de la forme :
Pour tout x dans E, P(x)
est fausse, il suffit de trouver un élément de E qui rende fausse la proposition P(x). Un tel élément s'appelle un contre-exemple
Bonjour 1 Schumi 1
Ta question n'est pas si bizarre que ça. La plupart des mathématiques classiques considèrent comme un axiome non(non P)=P et c'est ceci qui fait marcher le raisonnement pas l'absurde. Il existe d'autres logiques dans lesquelles cet axiome ne figure pas ou est remplacé par d'autres. Dans ces cas (spécialité des logiciens) le raisonnement par négation n'est pas admis.
Merci à tous pour vos réponses.
Justin ==> Oui, mais avec les tables de vérité, on tourne en rond. Ma question porte sur la légitimité de la logique utilisée.
sariette ==> Même remarque.
critou ==> Même remarque.
lafol ==> Même remarque.
Camélia ==> Donc, c'est bien un axiome. Merci de la réponse.
Merci encore à tous d'avoir satisfait ma curiosité.
Ayoub.
Posté par izaabelle (invité)re : Raisonnement par l'absurde: preuve.
comme Justin au début du topic, je dirais aussi "les tables de vérité", m'enfin ce sont des souvenirs de ma première année à la fac 
généralement, j'utilise ce raisonnement aussi pour démontrer l'inclusion de certains ensembles, et les implications de façon plus classique. 
izaabelle>> Les tablesde vérité ne prouvent rien pour moi. Dire que le raisonnement par l'absurde est valable parce que les tables de vérité le sont, pour moi, c'est tourné en rond.
Parce qu'on pose tout de suite la question: Quelle légitimité doit-on accorder à ces tables?
Et là, tout le monde répond: "c'est évident".
Je veux aller lus loin que ça, c'est trop facil sinon.
Je te ferai remarqué, comme Camélia, que certains mathématiciens refusent le principe du tiers exclu. Pourtant rien de plus évident, non?
Ayoub.
Par contre je vois pas en quoi le raisonement par récurence est une conséquence facile du raisonement par l'absurde ^^
le raisonement par récurence est plus ou moins posé comme axiome et il s'agit plus d'une propriété fondamental de N que d'un résultat logique de base (contrairement au raisonement par l'absurde qui est uniquement de la logique)
on peut voir le raisonement par l'absurde comme de la contraposé (la contraposé etant une conséquence des axiome logique de base et ce vérifie sur les tables de vérité...). mais en sup j'avait vu une "preuve" de ce mode raisonement basé sur un fait simple : si dans une théorie quelconque on arrive a une contradiction (ie à prouvé à la fois A et non A) alors toute proposition est contraidctoire dans cette théorie, ie si on prend un proposition B quelconque, alors B est vrai, et non B est vrai !!!
a partir de la on veut prouver A dans un théorie P, on considère donc la théorie (non A union P) et on prouve que celle ci est contradictoire. dans ce cas, soit non A est faux dans P, et donc A est vrai dans P, soit non A est vrai dans P et dans ce cas P est contradictoire, donc entre autre A est vrai dans P (puisque tous est vrai dans P...) .
mais bon, je trouve que la version par contraposé est tous de meme vachement plus simple :p
Citation :
Par contre je vois pas en quoi le raisonement par récurence est une conséquence facile du raisonement par l'absurde ^^
Par contre je vois pas en quoi le raisonement par récurence est une conséquence facile du raisonement par l'absurde ^^
C'est pas ce je dis. J'ai dit qu'il se démontrait facilement par l'absurde.
Citation :
on peut voir le raisonement par l'absurde comme de la contraposé (la contraposé etant une conséquence des axiome logique de base et ce vérifie sur les tables de vérité...)
on peut voir le raisonement par l'absurde comme de la contraposé (la contraposé etant une conséquence des axiome logique de base et ce vérifie sur les tables de vérité...)
C'est bien ce qu m'expliquait Camélia: Le raisonnement par l'absurde découle d'axiomes.
Ayoub.
" J'ai dit qu'il se démontrait facilement par l'absurde." et moi je te disait que le principe de récurence ne ce démontrait pas. le principe de récurence est une propriété de N, enfait on construit N de telle sorte que le principe de récurence soit vrai.
toute "démonstration" du principe de récurence utilise forcement une autre propriété caractérisitque de N, qui est en fait juste une autre facon d'ecrire le principe de récurence... (par exemple, toute parti non vide de N est minoré...)
il y a vraiment une grosse différence entre l'absurde et la récurence. pour faire simple, pour expliquer le raisonement par l'absurde tu n'as bessoin d'aucun présuposé mathématique. pour le raisonement par récurence, tu as bessoin de proposition indéxé par des entier, donc de savoir ce que sont les entier, de savoir ce qu'est l'entier n+1 connaissant n etc... ce n'est pas aussi "primitif".
Citation :
moi je te disait que le principe de récurence ne ce démontrait pas.
moi je te disait que le principe de récurence ne ce démontrait pas.
Ah bon, ben xcuse moi. J'ai du mal comprendre la dernière page:
Ayoub.
mais il utilise que toute parti non vide de N admet un plus petit élement... c'est juste une autre facon d'exprimer le principe de récurence.
(essai donc de le prouver, tu va avoir bessoin du principe de récurence pour le démontrer ^^ )
en quelque sorte oui, mais pas tous a fait.
en fait, selon la facon dont on construit N, l'une des trois propriété suivante est un axiome de N :
1) le principe de récurence
2) toute parti non vide de N admet un plus petit element
3) toute parti non vide majoré de N admet un plus grand élement.
(on peut probablement en rajouté d'autre, mais c'est celle ci les plus courante quand meme)
toute ces propriété sont équivalente. ton texte prouve que (2)=>(1), tous ce que ca veut dire c'est que l'autreur considère que la propriété fondamental de N qu'on ne admet, c'est (2). mais il aurait tous aussi bien pu faire le choix de prendre (1) comme axiome.
Bonjour à tous...
Vous avez tous raison. Il faut bien comprendre que (au moins actuellement) il y a au départ un système d'axiomes que l'on nous cache en général et qui régit toute la théorie.
Tout ce qui est en rapport avec le raisonnement par l'absurde est lié à non(non P)
P
axiome non admis dans certaines théories, mais bien sûr sous-entendu dans les mathématiques classiques.
Tout ce qui est en rapport avec la récurrence découle de la définition axiomatique de N rappelée par Ksilver elle-même subordonnée à l'acceptation d'autres axiomes (comme l'existence d'un ensemble infini).
Conclusion: c'est très bien de se poser ce genre de questions... mais point trop n'en faut!
d'autant que bien des logiciens sont morts fous .....
On pète vite un cable, en faisant de la métamathématique, méta-métamathématique ....
Citation :
d'autant que bien des logiciens sont morts fous .....
On pète vite un cable, en faisant de la métamathématique, méta-métamathématique ....
d'autant que bien des logiciens sont morts fous .....
On pète vite un cable, en faisant de la métamathématique, méta-métamathématique ....
C'est l'expérience qui parle?
Ayoub.