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Raisonnement par réccuréence.

Posté par
alobibou
06-09-21 à 21:27

Bonjour ,
Je n'arrive pas à terminer la réccurence suivante :
On définit la suite (Un) par U0=1 et Un+1=\frac{1}{2}Un+\frac{1}{Un}
.....
Up\geq 1
\frac{1}{2}Up\geq \frac{1}{2}
\frac{1}{2}Up+\frac{1}{Up}\geq \frac{1}{2}+\frac{1}{Up}
Up+1 ...
Je bloque a partir d'ici

Posté par
Glapion Moderateur
re : Raisonnement par réccuréence. 06-09-21 à 21:33

Bonsoir, il doit manquer une parenthèse , non ?
Un+1 = ((1/2)(Un+1/Un)) ?

Mais tu veux démontrer quoi exactement ?

Posté par
alobibou
re : Raisonnement par réccuréence. 06-09-21 à 21:58

Non il ne manque pas de parenthèse . La suite est la suivant : Un+1=\frac{1}{2}Un+\frac{1}{Un} et je veux démontrer que la suite est minorée par 1

Posté par
Foxdevil
re : Raisonnement par réccuréence. 06-09-21 à 22:20

Bonsoir,

Deux possibilités. Disjonction des cas ou bien étude de fonction...

Posté par
lafol Moderateur
re : Raisonnement par réccuréence. 06-09-21 à 23:18

Bonjour
autre possibilité : montrer par récurrence que la suite est minorée par 1 et majorée par 2 (les deux en même temps, double inégalité comme hypothèse de récurrence)

Posté par
co11
re : Raisonnement par réccuréence. 08-09-21 à 00:16

Bonsoir,
une piste : déjà, montrer( rapidement ?) que pour tout n, Un > 0
Puis, Un+1 = f(Un) avec f(x)= (1/2)x + 1/x
Et montrer que pour tout x > 0, f(x) 1

Posté par
co11
re : Raisonnement par réccuréence. 08-09-21 à 16:48

ah, désolée, je n'avais pas vu vos réponses, pas pensé à vérifier;

Posté par
carpediem
re : Raisonnement par réccuréence. 08-09-21 à 18:10

salut

pour répondre à la consigne : un raisonnement pas récurrence "classique" ...

u_{n + 1} = \dfrac 1 2 u_n + \dfrac 1 {u_n} = f(u_n)

tout le pb pour faire un raisonnement par récurrence est que f est somme d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante et qu'en plus la fonction inverse inverse l'ordre donc pour montrer seulement une minoration il faut travailler par majoration minoration et il faut un encadrement de u_n

mais qui peut le plus peut le moins !!! donc soyons fou    et supposons que 1 \le u_n \le 2

on en déduit alors que \dfrac 1 2 \le \dfrac 1 2 u_n \le 1 $ et $ \dfrac 1 2 \le \dfrac 1 {u_n} \le 1

et alors par somme 1 \le u_{n + 1} \le 2

yeeesssss !!!                          puisque a \le x \le b \Longrightarrow a \le x


PS : pensant que 2 ne marcherait pas j'ai commencé par majorer par 3/2 ... mais avec l'expressionu_{n + 1} = \dfrac {u_n^2 + 2} {2u_n}  mais au final on trouve le majorant 17/8 ... donc blème !!!

et il faut donc prendre plus grand et j'ai donc testé 2 ... qui marche !!! avec l'expression initiale car on trouve exactement 2

en fait en essayant avec 3/2 et l'expression initiale on trouve 7/4 qui ne marche pas non plus ...




PS : bien évidemment si u_0 = 3 j'aurais été bien em... bêté !!!  puisque pas d'initialisation possible bien que ma propriété soit héréditaire ...

Posté par
lafol Moderateur
re : Raisonnement par réccuréence. 13-09-21 à 15:36

c'est bien qu'est-ce que j'disais, m'sieur !



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