Bonjour,

Je me place au début de la terminale S, lorsque l'on introduit le raisonnement par récurrence.

Le problème est la suivant :
On considère la propriété P(n):" est divisible par 3", où .
L'affirmation "la propriété est toujours fausse" est-elle vraie ou est-elle fausse ?

En essayant les premières valeurs de n, la propriété est fausse, ce qui nous amène à penser qu'elle l'est toujours.

Personnellement pour prouver qu'elle est toujours fausse je raisonne comme suit:
Je montre l'implication :"P(n+1) vraie implique P(n) vraie" (ce qui me permet de montrer que "P(n) faux implique P(n+1) faux").
Je suppose donc que P(n+1) est vraie, autrement dit que 3 divise . Ensuite je dis que comme 2 et 3 sont premiers entre eux et que 3 divise le produit alors d'après le lemme de Gauss, 3 divise .
Maintenant je vérifie que P(0) est faux et comme P(n) faux implique P(n+1) faux pour tout entier naturel n alors je peux affirmer que P(n) est faux pour tout entier naturel n.

Mais ce type de raisonnement me paraît très compliqué pour un début de terminale S.
Premièrement : les élèves ne connaissent pas le lemme de Gauss.
Deuxièmement : j'utilise un raisonnement par contraposée, ce qui ajoute une difficulté...

Mais je ne vois pas comment faire simplement ?
Pouvez-vous m'éclairer s'il vous plaît ?

Merci