Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

Raisonnement par récurrence

Posté par
Plot
12-08-17 à 19:04

Bonjour,

Je me place au début de la terminale S, lorsque l'on introduit le raisonnement par récurrence.

Le problème est la suivant :
On considère la propriété P(n):"2^n est divisible par 3", où n\in\mathbb{N}.
L'affirmation "la propriété est toujours fausse" est-elle vraie ou est-elle fausse ?

En essayant les premières valeurs de n, la propriété est fausse, ce qui nous amène à penser qu'elle l'est toujours.

Personnellement pour prouver qu'elle est toujours fausse je raisonne comme suit:
Je montre l'implication :"P(n+1) vraie implique P(n) vraie" (ce qui me permet de montrer que "P(n) faux implique P(n+1) faux").
Je suppose donc que P(n+1) est vraie, autrement dit que 3 divise 2^{n+1}. Ensuite je dis que comme 2 et 3 sont premiers entre eux et que 3 divise le produit 2\times 2^n alors d'après le lemme de Gauss, 3 divise 2^n.
Maintenant je vérifie que P(0) est faux et comme P(n) faux implique P(n+1) faux pour tout entier naturel n alors je peux affirmer que P(n) est faux pour tout entier naturel n.

Mais ce type de raisonnement me paraît très compliqué pour un début de terminale S.
Premièrement : les élèves ne connaissent pas le lemme de Gauss.
Deuxièmement : j'utilise un raisonnement par contraposée, ce qui ajoute une difficulté...

Mais je ne vois pas comment faire simplement ?
Pouvez-vous m'éclairer s'il vous plaît ?

Merci

Posté par
scoatarin
re : Raisonnement par récurrence 12-08-17 à 21:30

Bonjour,

D'après les règles de divisibilité les multiples de 3  se terminent toujours par un des chiffres suivants: 1,3,7,9.

Les multiples de 2 se terminent toujours par un des chiffres suivants: 0,2,4,6,8.

Que penses tu de cette idée ?    

Posté par
Plot
re : Raisonnement par récurrence 12-08-17 à 22:37

30 est un multiple de 3 et il se termine par 0...

Posté par
Sylvieg
re : Raisonnement par récurrence 13-08-17 à 10:27

Bonjour,
Si j'ai bien compris, il s'agit de démontrer que  2n  n'est jamais divisible par 3.
Si  2n  n'est pas divisible par 3,  alors   le reste  de  2n  dans  la division euclidienne par 3  est  1  ou  2 .
2n  =  3q + 1     ou     2n  =  3q + 2
Reste à multiplier par  2  ces deux égalités.

Posté par
cocolaricotte
re : Raisonnement par récurrence 13-08-17 à 11:00

Je rajouterai :

les multiples de 3 terminent par
0  car (3  *10)
1  car (3  * 7)
2  car (3  * 4)
3  car (3  * 1)
4  car (3  * 8)
5  car (3  * 5)
6  car (3  * 2)
7  car (3  * 9)
8  car (3  * 6)
9  car (3  * 3)

Posté par
carpediem
re : Raisonnement par récurrence 13-08-17 à 22:27

salut

les diviseurs de 2^n sont les 2^k avec 0 =< k =< n ...

mais je ne comprends pas l'intérêt d'une telle question ....

si 3 divise 2^n alors il divise (3 - 1)^n qui est congru à (-1)^n ...

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1237 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !