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Raisonnement par récurrence

Posté par
imTopaze 27-10-18 à 19:37

Bonjour,

Je rencontre des difficultés sur cette exercice :

Pour n ϵ IN, on considère la propriété suivante :
Pn: 2n>n²

Pour quelles valeurs de n la propriété Pn est-elle vraie ?

Voici le début de mon raisonnement :

Initialisation : Vu que l'énoncé ne nous donne aucune valeur/indication sur n, j'ai pris n=0
                                Pour n=0 on a P0: 20>02
                                                                 <=>  1>0

Donc la propriété est vraie pour n=0

Hérédité : Supposons que la propriété Pn soit vraie.
                       Démontrons que la propriété Pn+1 est vraie :
(sachant que Pn+1: 2n+1>(n+1)2)

Soit 2n>n2 si on multiplie le tout par 2 ça nous donne :
          2n+1>2*n2

On arrive alors sur 2n+1>2*n2>(n+1)2

On résout alors 2*n2>(n+1)2
                          <=> 2*n2>n2 + 2n + 1
                          <=> n2 - 2n - 1 > 0        qui est une inéquation du second degré

Ce qui nous donne : Δ : 4 - 4*(-1) = 8
                                             x1: (2-√8)/2
                                             x2: (2+√8)/2

-∞x1x2+∞
n2 - 2n - 1+0                         -0+


Mais après je ne sais pas quoi faire, puisque selon le tableau de signe S = ]-∞ ; (2-√8)/2[U](2+√8)/2 ; +∞[

Or n ϵ IN, donc S = ](2+√8)/2 ; +∞[

Mais sachant que (2+√8)/2 ~ 2,41 si je prend le premier entier naturel qui vient après, soit 3.

Celà me fais P3: 23>32
                         <=> 8 > 9                   qui est faux.

Merci d'avance pour votre aide.

PS : J'ai fais du mieux que j'ai pu pour bien représenter le tableau de signe.

Posté par
Jezebethre : Raisonnement par récurrence 27-10-18 à 20:07

Bonjour

imTopaze @ 27-10-2018 à 19:37

On arrive alors sur 2n+1>2*n2>(n+1)2


Attention, ça c'est ce que vous voudriez bien avoir, pas ce que vous avez !

Pourriez-vous réécrire brièvement ce que vous obtenez à partir de "qui est une inéquation du second degré " ? Il y a eu un petit problème de traitement de texte.

Posté par
imTopazere : Raisonnement par récurrence 27-10-18 à 20:31

Bonjour,

Citation :
Attention, ça c'est ce que vous voudriez bien avoir, pas ce que vous avez !


Pouvez-vous alors m'expliquer ce que je suis censé avoir ?

Citation :
Pourriez-vous réécrire brièvement ce que vous obtenez à partir de "qui est une inéquation du second degré " ? Il y a eu un petit problème de traitement de texte.


j'ai calculé delta et ses racines :

Δ : 4 - 4*(-1) = 8
x1: (2-√8)/2
x2: (2+√8)/2

J'ai rédigé le tableau de signe qui me donne S = ]-∞ ; (2-√8)/2[U](2+√8)/2 ; +∞[

Mais puisque n ϵ IN, je prend uniquement les solutions comprises entre ](2+√8)/2 ; +∞[

Or,  (2+√8)/2 ~ 2,41, si je prend le premier entier naturel qui vient après : 3

Celà me donne P3 : 23 > 32 <=> 8 > 9 qui est faux.

Posté par
Jezebethre : Raisonnement par récurrence 27-10-18 à 20:34

Vous voulez montrer que 2^{n+1} >(n+1)^2 (vous l'avez écrit!). Mais si on vous pose la question, c'est que ça ne va pas être vrai pour n'importe quel n.

Je n'arrive toujours pas à lire ce que vous écrivez désolé.

Posté par
imTopazere : Raisonnement par récurrence 27-10-18 à 20:57

J'ai calculé delta et ses racines :

\Delta = 4 - 4\times (-1) = 8
x_{1} = \frac{2-\sqrt{8}}{2}
x_{2} = \frac{2+\sqrt{8}}{2}

J'ai rédigé le tableau de signe et voici les solutions :

S = ]-\infty ; \frac{2-\sqrt{8}}{2}[U]\frac{2+\sqrt{8}}{2};+\infty[

Sachant que n \epsilon IN, seule les solutions comprises entre ]\frac{2+\sqrt{8}}{2};+\infty[ m'intéresse.

Mais vu que \frac{2+\sqrt{8}}{2} \simeq 2,41

Et si je prend le premier entier naturel qui vient après qui est donc 3, celà me donne :

P_{3} : 2^{3} > 3^{2}
   \Leftrightarrow 8 > 9
Qui est faux


Vous avez toujours des problèmes à lire ? Je peux envoyer une capture d'écran au pire.

Posté par
Kirore : Raisonnement par récurrence 28-10-18 à 08:29

Bonjour. Bon moi je fais l'exercice autrement, je me suis dit que c'est pas obligé d'y aller jusqu'à déterminer les solution de l'inéquation.

Pour n=0,Pn  est vraie comme tu l'as mis
On suppose que Pn est vraie à l'ordre n et montrons que Pn+1 est vraie.
Pour montrer ce résultat, on part de l'hypothèse que Pn est vraie et comme l'addition membre à membre dans |N ne modifie pas le sens de l'inégalité ,on ajoute 2n +1 à chaque membre
2n+2n+1>n2+2n+1=(n+1)2 et donc P(n+1)>(n+1)2 est vraie

Posté par
carpediemre : Raisonnement par récurrence 28-10-18 à 08:45

encore faut-il montrer que 2^(n + 1) > 2^n + 2n + 1 ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Raisonnement par récurrence 28-10-18 à 09:06

Bonjour,
Tout ça me semble bien compliqué.

Citation :
Vu que l'énoncé ne nous donne aucune valeur/indication sur n, j'ai pris n=0
Se contenter d'observer ce qui se passe pour n = 0 est insuffisant.
La question posée sous entend que l'inégalité n'est pas vérifiée tout le temps.
Pour se faire une idée (une conjecture), comparer 2n avec n2 pour plusieurs valeurs de n : 0, 1, 2, 3, .... jusqu'à ce que l'on puisse conjecturer un rang à partir duquel l'inégalité stricte sera vraie.
Ensuite seulement on cherche à le démontrer par récurrence, en initialisant plus loin que n=0 .

Posté par
Kirore : Raisonnement par récurrence 28-10-18 à 09:10

carpediem @ 28-10-2018 à 08:45

encore faut-il montrer que 2^(n + 1) > 2^n + 2n + 1 ...



T'as pas besoin de démontrer ça camarade.
Et si tu as envie de démontrer cela laisse moi ton whatsapp et je te l'envoi

Posté par
carpediemre : Raisonnement par récurrence 28-10-18 à 09:10

salut

cet exercice est fort instructif pour comprendre qu'on en a rien à foutre de l'initialisation qui n'est en général qu'une simple vérification de niveau collège et que ce qui compte dans un raisonnement par récurrence c'est l'hérédité !!

tu as relativement bien menée ton raisonnement ... à la faute près relevée par Jezebeth :

tu arrives à 2^{n + 1} \ge 2n^2 et on voudrait savoir si ou quand 2n^2 \ge (n + 1)^2

ce qui revient à résoudre l'inéquation n^2 - 2n - 1 \ge 0  (1)

deux remarques ici (même si ce que tu as fait est correct) :

1/ comme au collège n^2 - 2n - 1 = n^2 - 2n + 1 - 2 = (n - 1)^2 - 2 = (n - 1 - \sqrt 2)(n - 1 + \sqrt 2)

donc pas besoin de discriminant

2/ et nul besoin de tableau puisqu'en première j'ai appris le signe d'un trinome :

ce trinome est positif à l'extérieur des racines (signe du coefficient de n^2) donc sur ]-oo, 1 - \sqrt 2] \cup [1 + \sqrt 2, +oo[

et puisque n est entier  (1) \iff  n \ge 3

mais ce que tu as fait est correct



c'est maintenant qu'il faut réfléchir à ce que tu fais !!!

ce que tu as montré c'est que la propriété  P(n)  :  2^n \ge n^2  est héréditaire à partir du rang n = 3

tu n'as pas montré que P(3) est vraie mais que P(n) est héréditaire à partir de n = 3

ensuite on vérifie maintenant l'initialisation :

après calcul P(3) est fausse et P(4) est vraie donc P(n) est vraie pour tout n \ge 4 par récurrence


maintenant on peut remarquer que P(0), P(1) et P(2) sont vraies

donc P(n) est vraie pour tout n \ne 3 parce que P(n) est vraie pour n {0, 1, 2, 4} et parce que P(n) est héréditaire à partir de n = 3

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Raisonnement par récurrence 28-10-18 à 09:15

Attention, si l'inégalité est stricte....

Posté par
carpediemre : Raisonnement par récurrence 28-10-18 à 10:04

j'étais sur que quelqu'un (tu) allait me faire la remarque !! ... quand j'ai vu ton intervention à 9h06 (tu ne l'avais pas écris quand j'ai commencé à taper mon (long) msg et je ne l'ai vu que quand j'ai posté mon (long) msg)

et d'ailleurs j'ai encore plus pensé à toi car on avait déjà eu une discussion à ce sujet ...

je dirais alors :

1/ qu'on se fout de savoir si l'inégalité est stricte ou large dans le msg que je veux faire passer (du moment que c'est cohérent et rigoureux) : ce qui importe c'est la notion d'hérédité et ce qu'elle signifie

2/ bien sur on (s')adapte à la situation donnée

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Raisonnement par récurrence 29-10-18 à 07:26

Bonjour,
A retenir pour imTopaze :
Pour éviter de pédaler dans la choucroute, on ne démarre pas une démonstration par récurrence avant de savoir avec précision ce que l'on veut démontrer


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