Bonjour,
J'ai un exercice de raisonnement par récurrence à faire :
On a Un+1 = e^2Un - e^Un
ce qui peut aussi s'écrire : Un+1 = e^Un(e^Un - 1)
et on a U0 = a , a étant un nombre réel fixé non nul négatif
Il faut démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n : Un <= 0
En soit je sais que c'est vrai car en regardant la courbe de e^2Un - e^Un dans un logiciel de calcul graphique , on voit bien que toutes les images des nombres inférieurs à 0 sont négatifs, donc si U0 est négatif, tous les termes de la suite seront négatifs.
Mais après beaucoup de temps à chercher comment faire, il m'est impossible de traduire ça en "langage mathématique".
Dans l'hérédité j'en suis à :
Un <= 0
e^Un <= e^0
e^Un <= 1
e^Un(e^Un - 1) <= (e^Un-1) x 1
et après je bloque complétement, et je ne suis même pas sur d'être parti sur la bonne piste.

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer la-dessus ?
Bonne journée