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raisonnement par récurrence
n consid`ere la suite (un) dont les termes v´erifient, pour tout nombre entier n > 1 :
nun = (n + 1) × un−1 + 1 et u0 = 1
Bonjour, je suis bloquée depuis un moment sur la question 6 du sujet ci-dessous, pouvez-vous m'aider à comprendre comment je dois m'y prendre, s'il vous plait.
On consid`ere la suite (un) dont les termes v´erifient, pour tout nombre entier n > 1 :
nun = (n + 1) × un−1 + 1 et u0 = 1.
Le tableau suivant donne les quatre premiers termes de cette suite.
u0 u1 u2 u3
1 3 5 7
1. D´etailler le calcul permettant d'obtenir u4.
2. Pour n > 1, exprimer un en fonction de un−1 et de n.
3. On a con¸cu l'algorithme suivant :
saisir i
n ←− 0
u ←− 1
tant que u 6 = i
n ←− . . .
u ←− . . .
fin tant que
Compl´eter les pointill´es `a l'aide de la question pr´ec´edente puis programmer une fonction python
d´ependant de i et permettant d'afficher la valeur de n obtenue par cet algorithme.
Pour i = 4029, quelle valeur de n le programme donne-t-il ?
4. Que repr´esente le nombre n calcul´e par cet algorithme par rapport `a l'entier i saisi ?
5. En faisant tourner l'algorithme pour diff´erentes valeurs impaires de i, conjecturer l'expression de
un en fonction de n.
6. D´emontrer la conjecture pr´ec´edente `a l'aide d'un raisonnement par r´ecurrence.
7. En d´eduire u2021.
8. Que fait l'algorithme si l'on saisit un nombre i pair ?
Alors voilà d'après les questions précédentes je suis parvenu à conjecturer que comme un=i et i= 2n+1 alors un=2n+1
ce qui correspond à la forme d'uns suite arithmétique un=uo +nr
avec comme premier terme uo=1 et une raison r=2.
Je ne sais donc pas si je dois montrer un+1=2(n+1)+1 (HR) et donc un+2= 2(n+2)+1 ou encore un+1-un=2 (pour prouver que c'est arithmétique de raison 2).
Mais comme on ne connait pas réellement la valeur de pas un+1 je ne vois pas comment faire...
J'espère avoir étais assez clair et je vous remercie d'avance pour votre aide. Bonne journée
Bonjour,
Et bienvenue sur l'île 
Pour 6), tu cherches à démontrer un = 2n+1. pour tout n de 
.
Tu vérifies l'égalité pour n = 0.
Puis tu supposes l'égalité vraie pour un certain n de et tu tentes de démontrer l'égalité au rang n+1.
Mais tu es bloqué car tu n'as pas de relation avec un+1.
Utilise la relation donnée par l'énoncé, c'est à dire nun = (n + 1) × un?1 + 1, en y remplaçant n par n+1.
PS Pour les indices, il y a le bouton « X2».
Il y a d'autres boutons sous la zone de saisie que tu pourras explorer.
N'oublie pas de faire "Aperçu" avant de poster.
D'accord merci Sylvieg alors comme on sait que nun = (n + 1) × un−1 + 1 donne :un = ((n + 1) × un−1 + 1)/n je peux faire ça?
Pn:" un=2n+1)
Initialisation: P0 "u0=2*0+1" est vraie car u0=1 et 2*0+1=1
Hérédité: On suppose Pk: "uk=2k+1" est vraie pour un certain k appartenant à n. (HR)
Montrons Pk+1 :"uk+1= 2(k+1)+1" est vraie
On sait uk =2k+1 d'après HR
soit( (k+1)*uk+1)/k = 2k+1
Mais à partir d'ici je suis rebloquée je ne comprends vraiment pas comment faire je suis désolée
PS: désolé je n'ai pas réussi à mettre les indices ça me marque [sup][/sup]
Sylvieg D'accord merci Sylvieg alors comme on sait que nun = (n + 1) × un−1 + 1 donne :un = ((n + 1) × un−1 + 1)/n je peux faire ça?
Pn:" un=2n+1)
Initialisation: P0 "u0=2*0+1" est vraie car u0=1 et 2*0+1=1
Hérédité: On suppose Pk: "uk=2k+1" est vraie pour un certain k appartenant à n. (HR)
Montrons Pk+1 :"uk+1= 2(k+1)+1" est vraie
On sait uk =2k+1 d'après HR
soit( (k+1)*uk+1)/k = 2k+1
Mais à partir d'ici je suis rebloquée je ne comprends vraiment pas comment faire je suis désolée
PS: désolé je n'ai pas réussi à mettre les indices ça me marque [sup][/sup]
Utilise la relation donnée par l'énoncé, c'est à dire nun = (n + 1) × un-1 + 1, en y remplaçant n par n+1.
Merci malou
Je vais m'absenter une petite heure. Si tu es disponible, n'hésite pas à prendre la suite.
Désolée Sylvieg je te remercie infiniment d'avoir pris le temps pour essayer de m'aider mais je n'y arrive pas:
Pour Pk: kuk=(k+1)*uk-1+1
Cela donne pour Pk+1"k+1uk+1=(k+1+1)*uk+1-1+1
si j'ai bien compris. Mais après je ne vois pas comment le démontrer...
Alors je crois que je vais laisser tomber et arrêter de t'embêter. Encore merci et bonne soirée
Dommage de laisser tomber !
Tu semble confondre deux choses :
L'égalité qui est donnée par l'énoncé d'une part.
L'égalité un = 2n+1 d'autre part.
L'égalité donnée par l'énoncé permet effectivement d'écrire ceci :
(k+1)uk+1 = (k+2)uk + 1
Tu y remplaces uk par ce que donne l'hypothèse de récurrence, et tu vas finir par trouver uk+1 = 2(k+1)+1.
Mais ça ne va pas tomber immédiatement.
Sylvieg merci beaucoup je crois que j'ai réussi grâce à toi
Si je ne me trompe pas à ça fait ça:
(k+1)uk+1=(k+2)uk+1
=(k+2)*(2k+1)+1
=2k2+k+4k+2+1
=2k2+5k+3
(k+1)uk+1=(k+1)(2k+3)
donc uk+1=((k+1)(2k+3))/k+1
=2k+3
=2(k+1)+1
Est ce bien cela?
Tout à fait !
Pour rédiger, précise bien l'endroit où tu utilises l'hypothèse de récurrence.
Bravo pour la factorisation (k+1)(2k+3) ; elle n'est pas évidente.
Bonjour Sylvieg, désolée de vous dérangez, mais j'ai une question a vous demandez. Est-ce que sur l'île des maths on peut demander aux autres utilisateurs si les résultats qu'on a obtenue sont justes. Par exemple, j'ai un exercice où il faut calculer des limites avec des formes indéterminées et des limite de sinus : chose que je n'est pas vu en classe et donc je me suis appuyé sur ce que je trouvais sur internet mais je ne suis pas sur que les résultats que j'ai obtenue soient bon... Ou bien est ce que ce n'est pas possible de faire ça?
Encore merci pour la dernière fois et bonne soirée
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