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Raisonnement par récurrence d’une suite

Posté par
lulu1313
16-04-19 à 19:13

Bonsoir
En pleine révision, je m'entraine sur les démonstrations par récurrence. J'ai un problème avec celle-ci :

La suite (un) est définie par u0]0;1[ et un+1=un(2-un). Démontrer par récurrence que n 0<un<1. On pourra étudier les variations de la fonction f définie par f(x)=x(2-x)

Je connais la méthode (initialisation hérédité et ccl). J'ai fait l'étape d'initialisation, début d'hérédité, mais je suis bloqué pour la démonstration..


Merci de votre aide :/

Posté par
philgr22
re : Raisonnement par récurrence d’une suite 16-04-19 à 19:15

Bonjour,
As tu etudié la fonction?

Posté par
lulu1313
re : Raisonnement par récurrence d’une suite 16-04-19 à 19:28

Oups, j'ai oublié de le préciser dans le message d'avant en effet ^^

Alors oui, j'ai trouvé que f est croissante sur ]-infini; 1] puis décroissante sur  [1;+infini[
Mais je ne comprends pas le rapport avec la démo..

Posté par
philgr22
re : Raisonnement par récurrence d’une suite 16-04-19 à 19:29

AS tu les extremums?

Posté par
philgr22
re : Raisonnement par récurrence d’une suite 16-04-19 à 19:29

N'oublie pas que Un+1est l'image de Unpar f.

Posté par
lulu1313
re : Raisonnement par récurrence d’une suite 16-04-19 à 19:35

Je sais que le maximum de la fonction est en 1;1. Mais je vous avoue que je suis un peu perdue là..

Posté par
carpediem
re : Raisonnement par récurrence d’une suite 16-04-19 à 19:43

salut

on peut se passer de l'étude de f ... avec la forme canonique du trinome x(2 - x) ...

Posté par
lulu1313
re : Raisonnement par récurrence d’une suite 16-04-19 à 19:49

Euh peut-être aha mais ici on me demande d'etudier les variations de f, j'aimerais continuer sur cette idée, svp

Posté par
carpediem
re : Raisonnement par récurrence d’une suite 16-04-19 à 19:53

non on ne te demande pas !!! on te propose !!! et une indication n'est pas une obligation ...

Posté par
lulu1313
re : Raisonnement par récurrence d’une suite 16-04-19 à 19:55

Ah oui en effet, mais du coup je vous pas trop ce qu'il faut faire..

Posté par
carpediem
re : Raisonnement par récurrence d’une suite 16-04-19 à 20:01

étudier (les variations de) la fonction f est équivalent à donner la forme canonique de f car f est un trinome et que la forme canonique d'un trinome donne ses variations

... et c'est tellement plus simple quand on sait calculer et qu'on connait ses identités remarquables (niveau collège)

maintenant si tu veux :

1/ tu étudies les variations de f (par la méthode que tu veux)
2/ tu regardes ce qui se passe sur l'intervalle [0, 1] (puisque c'est l'énoncé)

Posté par
lulu1313
re : Raisonnement par récurrence d’une suite 16-04-19 à 20:24

Aah d'accord merci j'ai compris ! Merci bcp !!

Posté par
philgr22
re : Raisonnement par récurrence d’une suite 16-04-19 à 22:53

Juste une remarque carpediem ; la forme canonique donne bien le sens de variation de la fonction;je ne vois pas la difference de raisonnement....

Posté par
carpediem
re : Raisonnement par récurrence d’une suite 17-04-19 à 12:21

philgr22 : voir mon msg de 20h01 : je dis simplement que dans le cas d'un trinome l'étude des variations par la forme canonique ou par la la dérivée c'est la même chose

mais que le calcul de la forme canonique ou le calcul d'une dérivée et de son signe ça n'est pas la même chose : seule la conclusion sera identique



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