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Raisonnement par récurrence /Suite de fonctions
Bonjour
J'ai une question qui n'a pas vraiment de relation avec les suites de fonctions et qui m'empêche de poursuivre l'exo ;
Une suite de fonction définie sur [0;1] avec:
U₀(x)=1
Un+1(x)=1+∫Un(t-t²)dt , 0<t<x
On me demande de montrer par récurrence que :
0≤ Un+1(x) - Un(x) ≤ xⁿ⁺¹⁄(n+1)!
Donc je vérifie P(0) je trouve bien :
0≤U₁(x)-U₀(x)=x ≤ x
Puis en supposant que P(n) est vraie, j'ai du mal à vérifier P(n+1) , une indication svp ?
Je vous remercie
Merci pour votre intervention
Je démarre de là 0≤ Un+1(x) - Un(x) ≤ xⁿ⁺¹⁄(n+1)! et j'essaie d'arriver à 0≤ Un+2(x) - Un+1(x) ≤ xⁿ⁺²⁄(n+2)!.. mais j'y arrive pas car pour exprimer Un+1 en fonction de Un+2 , il va falloir dériver ..
Je vois que vous prenez le chemin inverse ?
Ce que je fais, quand j'ai une récurrence à démontrer, c'est que je pars de l'expression au rang (n+1) et j'essaye de faire apparaître l'expression au rang n.
Ici, comme tu le dis, il est difficile de partir de pour faire apparaître
alors que partir de
et faire apparaître
revient juste à appliquer les définitions, comme je l'ai montré.
Peux-tu conclure à l'aide de mon précédent post ?
le résultat que vous obtenez en terme d'intégrales, il s'agit de le borner entre 0 et ∫ (t-t²)ⁿ⁺¹/(n+1)! ? ou existe-t-il un chemin plus simple car cette intégrale est pas facile a sortir ?
Oui, par hypothèse de récurrence, on obtient donc
Maintenant, souviens-toi que , pour majorer cette intégrale convenablement
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