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Kekeee 01-10-22 à 21:37

Bonsoir, j'aurais besoin d'aide pour l'exercice suivant:

Soit M =\begin{bmatrix} A& B\\ C& D \end{bmatrix}∈ Mn(k) une matrice par blocs avec A ∈ Mr(k) et
D ∈ Mn−r(k) carrées.
On suppose A inversible.
Montrer rgM ssi D = CA-1B.

On considéra l'application:
f: M_{n-r,1}(R)\rightarrow Mn,1(R)
Y\rightarrow \begin{bmatrix} -A^{-1}BY\\ Y \end{bmatrix}

Et on admettra que Ker(M)=Ker(D-CA-1B)

Posté par
Kekeeere : Rang 01-10-22 à 21:38

Pardon KerM=f(Ker(D-CA-1B))

Posté par
Kekeeere : Rang 01-10-22 à 21:39

Et rgM=r ssi D=CA-1B… désolé pour les erreurs

Posté par
Kekeeere : Rang 01-10-22 à 21:44

Donc si D=CA-1B alors Ker(D-CA-1B)=Ker(0)=Mn-r,1(k)

Donc KerM=f(Mn-r,1(k))

Or f est injective car kerf={0}

Donc KerMMn,1(k)

Je ne sais pas si ce que j'ai fait est bon, je voulais conclure avec le théorème du rang mais je n'y arrive pas.

Je sais par contre que rgMr car M possède une matrice extraite de taille r inversible qui est A… voilà je vous remercie par avance

Posté par
GBZMre : Rang 02-10-22 à 11:03

Bonjour,
\ker(M)\subset M_{n,1}(k) ne t'apporte aucune information.
Ce qui compte pour le rang de M, c'est la dimension de \ker(M).


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