Niveau Reprise d'études

Rang d'une différentielle

Posté par
lytar 03-04-21 à 11:32

Bonjour, j'ai deux questions :
Je dois calculer le rang de la différentielle de f.

1) Pour tout t dans R, f(t)= t^2-6t+6
J'essaye de comprendre :
Je sais que R est de dimension 1 donc d'après le théoreme du rang j'ai :
Dim ker f + Dim Im f = Dim R avec Dim Im f = rg f
Donc je suppose que j'ai également :
Dim ker f' + Dim Im f' = Dim R avec Dim Im f' = rg f' car f polynomiale.
Donc en soit j'ai Dim ker f' + Dim im f' = 1
Donc soit Dim ker f' = 0 et Dim im f' = 1 ou Dim ker f' = 1 et Dim im f' = 0

Donc je dois calculer la différentielle (qui est ici la dérivé "simple")
f'(t) = 2t - 6
f'(t) = 0 ssi t = 3

Ainsi j'ai rg df = 0 ssi t = 3 ou rg df = 1 ssi t3

Ai-je bien compris cet exemple simple ?

2) Pour tout (x,y) dans R^2, f(x,y)= 2x^2 - x - 6y^2
On calcule le gradient :
Grad(f(x,y)) = (4x - 1, -12y)^t

Grad(f(x,y)) = 0 ssi (x,y)=(1/4,0)
Donc rg df = 0 ssi (x,y)=(1/4,0)

Mais comment calculer les autres cas ? Car on a Dim R^2 = 2 et d'apres le theoreme du rang : Dim Ker f + rg f = 2 ?

Posté par re : Rang d'une différentielle 03-04-21 à 12:46

Pour la question 1) J'ai changé :

j'ai calculé df(t)h = (2t-1)h qui est une application linéaire.
Theoreme du Rang : Dim ker df + rg df = dim R

h dans ker df ssi df(t)h = 0 ssi (2t-6)h = 0
si t = 3 alors pour tout h dans R on a df(t)h=0 donc on a la droite réel donc Dim ker df = 1
si t 3 alors df(t)h=0 ssi h=0 alors Ker df = {0} alors Dim ker df = 0

Donc si t = 3 amprs rg df = 0
si t rg df = 1

mais j'ai du mal pour la 2)

Posté par re : Rang d'une différentielle 03-04-21 à 12:47

Pour la question 1) J'ai changé :

j'ai calculé df(t)h = (2t-1)h qui est une application linéaire.
Theoreme du Rang : Dim ker df + rg df = dim R

h dans ker df ssi df(t)h = 0 ssi (2t-6)h = 0
si t = 3 alors pour tout h dans R on a df(t)h=0 donc on a la droite réel donc Dim ker df = 1
si t 3 alors df(t)h=0 ssi h=0 alors Ker df = {0} alors Dim ker df = 0

Donc si t = 3 alors rg df = 0
si t3, rg df = 1

mais j'ai du mal pour la 2)

Posté par re : Rang d'une différentielle 03-04-21 à 14:34

Bonjour

Ta troisième version est correcte. Pour une fonction $f:\R\to\R$ , pour tout $x$ on a $df_x(h)=f'(x)h$ avec $df_x\in \cal{L}(\R, \R)$ donc le rang est nul si $df_x=0$ c'est_à_dire $f'(x)=0$ et vaut 1 sinon.

Pour la deuxième question, je te rappelle que pout une fonction différentiable $f:\R^2\to\R$ , on a
$df_{(x,y)}(h,k)=\dfrac{\partial f}{\partial x}(h)+\dfrac{\partial f}{\partial y}(k)$ {x,y}
et \df_{(x,y)}\in \cal{L}(R^2, \R)