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rang d'une famille de fonctions
Bonsoir, j'ai un exercice qui me pose problème.
fn:x->sin(x+n) pour tout n entier naturel
Quel est le rang de la famille (f1,f2,...,f10) ?
Merci d'avance
de R dans R
J'ai essayé de faire marcher les formules de trigo et je me retrouve avec un facteur de sin(x) et de cos(x) mais je vois pas comment continuer
Bonsoir.
Tu as donc au plus un espace de dimension deux, puisque tout est combinaison linéaire de cos et sin.
Après il suffit par exemple de montrer que f1 et f2 sont libres (évalue la combinaison linéaire en -1, ou en -2).
Et on ne sait toujours pas dans quel espace vectoriel sont les fonctions ....
Il a dit de R dans R. Mais est-ce que ça change vraiment quelque chose ? Pour l'espace d'arrivée, je n'ai pas l'impression. Éventuellement pour l'espace de départ, il n'a effectivement pas dit sur quoi les fonctions étaient définies, mais ce serait quand même un peu farfelu de prendre autre chose que R non ? Eventuellement un intervalle de longueur 2pi, mais ça ne change pas la dimension.
en quoi dire que les fonctions sont de R dans R indique-t-il dans quel espace vectoriel elles vivent ?
et depuis quand un intervalle de longueur 2pi a-t-il l'ombre d'une chance d'être stable par addition ?
on parle d'une famille de vecteurs (ici des fonctions) sans savoir dans quel espace vectoriel on travaille (et plus grave, sans même avoir idée de ce qu'est un espace vectoriel....)
en quoi dire que les fonctions sont de R dans R indique-t-il dans quel espace vectoriel elles vivent ?
Ben, l'espace vectoriel des fonctions de R dans R, non ?
et depuis quand un intervalle de longueur 2pi a-t-il l'ombre d'une chance d'être stable par addition ?
Depuis un article très récent paru dans Annals of Mathematics. Non plus sérieusement, bien sûr ce n'est pas un espace vectoriel, mais pas besoin. Pour que l'ensemble des fonctions de X dans Y soit un espace vectoriel, il suffit que Y le soit, pas nécessairement X. Donc on peut bien prendre [0,2pi] comme ensemble de départ
on parle d'une famille de vecteurs (ici des fonctions) sans savoir dans quel espace vectoriel on travaille (et plus grave, sans même avoir idée de ce qu'est un espace vectoriel....)
Je ne vois pas trop ce que ça pourrait être à part l'espace vectoriel des fonctions de R (ou [0,2pi], ou un truc du genre) dans R (ou C, ou un truc qui contient R). À moins que je ne loupe un truc ?
c'est surtout stewieg, qui m'inquiète
répondre "de R dans R" quand on lui demande dans quel espace vectoriel on est ....
Effectivement, on peut être dans F(R,R), tout comme on peut être dans , ou simplement dans Vect{sin, cos}....
Je trouve juste étrange qu'un exercice balance une famille de vecteurs sans préciser dans quel espace vectoriel ils sont, et j'aurais aimé qu'il nous donne un énoncé complet, c'est tout
Je suis d'accord que c'est mieux, et surtout plus rigoureux, de préciser.
Personnellement je n'y ai pas trop fait attention, car j'ai l'impression que la valeur de la dimension ne change pas, quel que soit l'espace qu'on choisit (F(R,R), C^0, C^infini, ou n'importe quoi du genre), mais c'est vrai que ce serait mieux si stewieg nous montrait qu'il a bien conscience que techniquement, sans la précision de l'espace ambiant, la question n'a pas de sens.
)mais si par exemple on est dans Vect(sin, cos), ce sera bien plus vite fait que si on est dans F(R,R)
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