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Niveau Licence Maths 1e ann
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Rang d'une matrice

Posté par
Marth
29-03-17 à 19:38

Bonsoir j'ai un exercice à faire voici le sujet :

Sans passer par la forme échelonnée, déterminer le rang des matrices suivantes :

C=\begin{pmatrix} 1 &3 & -2&1 \\ 4 & 2 &1 & -3 \end{pmatrix}

Je ne vois pas trop dans quel démarche je dois m'y prendre pour ce type de matrice

Posté par
david9333
re : Rang d'une matrice 29-03-17 à 20:18

Bonjour,
le rang vaut 0, 1 ou 2.
Pour le déterminer, tu dois donc dire si la famille composée des lignes de la matrice est libre, liée, ou nulle.

Posté par
Marth
re : Rang d'une matrice 29-03-17 à 20:22

Et comment je dois faire pour déterminer si la famille composée des lignes de la matrice est libre, liée, ou nulle je n'est pas vu sa en cours

Posté par
david9333
re : Rang d'une matrice 29-03-17 à 20:29

Une famille de deux vecteurs est libre ssi ils ne sont pas colinéaires...

Posté par
Marth
re : Rang d'une matrice 29-03-17 à 20:29

La méthode ab-cd ne peut pas fonctionner ici

Posté par
carpediem
re : Rang d'une matrice 29-03-17 à 20:33

Marth @ 29-03-2017 à 20:29

La méthode ab-cd ne peut pas fonctionner ici
alors essaie la méthode ef-gh ...

Posté par
BranchingRW
re : Rang d'une matrice 29-03-17 à 20:38

Je doute fort que ton prof te demande de calculer un rang de matrice sans avoir abordé la notion de famille libre/liée.
Je te la donne pour rappel :

Soit E un K-espace vectoriel
La famille de vecteurs (x_1,...x_n) de E est dite libre si l'égalité
\lambda_1 x_1 + \ldots \lambda_n x_n = 0
implique \lambda_1 = \ldots = \lambda_n = 0, pour tous (\lambda_i, 1 \leq i \leq n)

Sinon elle est dite liée.

Une base est une famille libre et génératrice. Une famille libre de E est une base de E si et seulement elle a pour cardinal dim(E)

Posté par
david9333
re : Rang d'une matrice 29-03-17 à 20:39

\begin{pmatrix}1&3&-2&1\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}4&2&1&-3\end{pmatrix} sont colinéaires s'il existe \lambda\in\mathbb{R} tel que \begin{pmatrix}1&3&-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&2&1&-3\end{pmatrix} !
C'est la définition de la colinéarité !

Le déterminant "ad-bc" ça marche pour deux vecteurs de taille 2...

Posté par
Marth
re : Rang d'une matrice 29-03-17 à 20:54

Oui d'accord je vient de voir ce que vous aviez dit avec cette méthode mais j'aurais besoin d'un début d'abord pour faire la question je pense car je sais pas trop comment commencer

Posté par
david9333
re : Rang d'une matrice 29-03-17 à 20:57

david9333 @ 29-03-2017 à 20:39

\begin{pmatrix}1&3&-2&1\end{pmatrix} et \begin{pmatrix}4&2&1&-3\end{pmatrix} sont colinéaires s'il existe \lambda\in\mathbb{R} tel que \begin{pmatrix}1&3&-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&2&1&-3\end{pmatrix}

Bien sûr c'est \begin{pmatrix}1&3&-2&1\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}4&2&1&-3\end{pmatrix}

À partir de ça, tout est dit. Soit il existe un tel \lambda, soit il n'en existe pas !

Posté par
Marth
re : Rang d'une matrice 29-03-17 à 22:43

D'accord sa marche



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