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Niveau Reprise d'études
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rang de matrice et projecteur

Posté par
jimo41
22-06-21 à 17:42

Bonjour à tous.
Je poste ci-dessous le sujet de l'exercice sur lequel je bloque.
J'ai réussi à répondre aux premières questions, je bloque uniquement sur la dernière : démontrer que BA=I2.

Si quelqu'un avait un indice....
Merci d'avance.

Soient \; A \; \epsilon \; M_{3,2}{(\mathbb{K}) \; et \; B \; \epsilon \; M_{2,3}{(\mathbb{K}) \\ avec \; AB = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1\\ -1& 0 &-1 \\ 1& 1 &2 \end{pmatrix} \\
On \; note \; f \; et \; g \; les \; applications \; linéaires \; canoniquement \; associees \; a \; A \; et \; B. \\ 1) \; montrer \; que \; f\circ g \; est \; un \; projecteur. \\ 2) \; determiner \; une\; base \; ou \; f\circ g \; est \; representee \; par \; une \; matrice \; diagonale. \\ 3) \; calculer \; rg( f\circ g) \\ 4)\; en \; deduire \; rg(f) \; et \; rg(g) \\ 5) \; quelles \; proprietes \; peut-on \; deduire \; pour \; f \;et \; g \; ? \\ 6) \; montrer \; que \; BA=I_2.

Posté par
GBZM
re : rang de matrice et projecteur 22-06-21 à 18:10

Bonjour,

Raisonne avec le noyau et surtout l'image E du projecteur f \circ g..
Tu devrais voir un isomorphisme de \mathbb K^2 sur E, et aussi l'isomorphisme réciproque.

Posté par
jimo41
re : rang de matrice et projecteur 22-06-21 à 21:19

Merci de ta réponse.
Mais j'avoue que je tourne en rond.
Effectivement, il y a un isomorphisme ( notons-le \varphi ) entre E et \mathbb{K}^2 puisqu'ils ont la même dimension.

Mais je n'arrive pas à faire le lien avec le projecteur f \circ g et puis surtout avec g \circ f

Posté par
jimo41
re : rang de matrice et projecteur 22-06-21 à 21:49

Bon je crois avoir trouvé une solution.

Im ( f \circ g) = Im(f)   puisqu'ils ont la même dimension.

Soit x \; \epsilon \mathbb{K}^2 :

f \circ g \circ f(x) = f \circ g ( f(x) ) = f(x)

puisque f(x) \; \epsilon \; Im(f \circ g) et que f \circ g
 \\  est un projecteur.

Donc f  ( g\circ f(x) ) = f(x)
Or f est injective donc g \circ f (x) = x
Donc g \circ f = Id_{\mathbb{K}^2 }

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : rang de matrice et projecteur 22-06-21 à 22:05

Bonjour


\Large \boxed{AB=\left(\begin{array}{ccc}0&-1&-1\\-1&0&-1\\1&1&2\end{array}\right)}


\Large \boxed{1)} il suffit de vérifier que \Large \boxed{(AB)^2=AB}.

\Large \boxed{2)} si on note C_1 , C_2 et C_3 les vecteurs colonnes de la matrice AB , il n'est pas difficile de voir que :

\ast la famille (C_1,C_2) est libre.

\ast C_1+C_2=C_3.

(ce qui donne au passage \Large \boxed{rg(fog)=rg(AB)=2})

le résultat du \small \boxed{1)} donne alors \Large \boxed{ABC_1=C_1~~,~~ABC_2=C_2}

ce qui signifie que (\vec u=^tC_1=(0,-1,1),\vec v=^tC_2=(-1,0,1)) est une base de l'image du projecteur fog

on vérifie assez facilement que le vecteur \vec w=(1,1,-1) engendre le noyau du projecteur fog

et que (\vec u,\vec v,\vec w) est une base de \mathbb K^3

puis que \Large \boxed{Matr_{_{(\vec u,\vec v,\vec w)}}(fog)=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{array}\right)}

\Large \boxed{3)} c'est déjà fait en \small \boxed{2)} mais on pouvait le voir dès le \small \boxed{1)} vu que le rang d'un projecteur est égal à sa trace.

\Large \boxed{4)} on a \Large \boxed{2=rg(fog)\leqslant rg(f)\leqslant2} et donc\Large \boxed{rg(f)=2}

et on a \Large \boxed{2=rg(fog)\leqslant rg(g)\leqslant2} et donc\Large \boxed{rg(g)=2}.

\Large \boxed{5)} f est injective et g est surjective.

\Large \boxed{6)} Soit h un endomorphisme quelconque de \mathbb K^2 vérifiant fohog=0

je te laisse alors voir pourquoi l'endomorphisme h est nul !

la traduction matricielle de ce fait s'écrit :

\Large \boxed{\forall M\in\mathcal M_2(\mathbb K)~~,~~AMB=0 \Longrightarrow M=0}

et tu conclus alors en remarquant que \Large \boxed{A(BA-I_2)B=0}. sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
jimo41
re : rang de matrice et projecteur 22-06-21 à 22:13

Oui . Cela marche bien.
Merci beaucoup.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : rang de matrice et projecteur 22-06-21 à 22:20

C'est un plaisir jimo41

Posté par
GBZM
re : rang de matrice et projecteur 22-06-21 à 22:42

Ce que je voulais t'indiquer (sans le faire à ta place), c'est que la restriction de f à l'image du projecteur est un isomorphisme sur  \mathbb K^2 et que g induit l'isomorphisme réciproque car g\circ f est l'identité sur l'image du projecteur.

Posté par
jimo41
re : rang de matrice et projecteur 23-06-21 à 10:52

Alors, je vois bien que f donne un isomorphisme de \mathbb{K}^2 vers Im(f \circ g) ( effectivement j'aurais dû le voir celui-là ... ) , mais par contre, je ne comprends pas pourquoi g induirait l'isomorphisme réciproque ...

( bon évidemment en faisant abstraction des réponses au-dessus .. )

Posté par
GBZM
re : rang de matrice et projecteur 23-06-21 à 11:09


Qu'est-ce que tu ne vois pas ?
Que f\circ g restreint à l'image de f\circ g est l'identité ?

Posté par
jimo41
re : rang de matrice et projecteur 23-06-21 à 11:14

Non ça oui puisque c'est un projecteur, mais pourquoi g \circ f ?

Posté par
jimo41
re : rang de matrice et projecteur 23-06-21 à 11:26

Je crois que ce qui me gêne le plus pour faire le lien entre f \circ g et g \circ f c'est le changement de dimension...

f \circ g au départ est défini sur \mathbb{K}^3 ,
 g \circ f lui est défini sur  \mathbb{K}^2

Posté par
jimo41
re : rang de matrice et projecteur 23-06-21 à 12:14

Non, ça y est, j'ai vu le truc.....

Effectivement, f induit un isomorphisme de \matbb{K}^2 vers Im( f \circ g )= Im(f) d'où l'existence d'un isomorphisme réciproque et comme f \circ g est l'identité sur  Im( f \circ g ) , cet isomorphisme réciproque est induit par g.  

Bon, j'ai mis le temps ( un peu long à la comprenette ) , mais c'est venu ....
Merci beaucoup de ta patience GBZM.

Posté par
GBZM
re : rang de matrice et projecteur 23-06-21 à 14:39

Une fois qu'on a vu, ça paraît simple ...



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