Bonjour à tous.
Je poste ci-dessous le sujet de l'exercice sur lequel je bloque.
J'ai réussi à répondre aux premières questions, je bloque uniquement sur la dernière : démontrer que BA=I2.
Si quelqu'un avait un indice....
Merci d'avance.
Bonjour,
Raisonne avec le noyau et surtout l'image du projecteur .
Tu devrais voir un isomorphisme de sur , et aussi l'isomorphisme réciproque.
Merci de ta réponse.
Mais j'avoue que je tourne en rond.
Effectivement, il y a un isomorphisme ( notons-le ) entre et puisqu'ils ont la même dimension.
Mais je n'arrive pas à faire le lien avec le projecteur et puis surtout avec
Bon je crois avoir trouvé une solution.
puisqu'ils ont la même dimension.
Soit :
puisque et que est un projecteur.
Donc
Or est injective donc
Donc
Bonjour
il suffit de vérifier que .
si on note , et les vecteurs colonnes de la matrice , il n'est pas difficile de voir que :
la famille est libre.
.
(ce qui donne au passage )
le résultat du donne alors
ce qui signifie que est une base de l'image du projecteur
on vérifie assez facilement que le vecteur engendre le noyau du projecteur
et que est une base de
puis que
c'est déjà fait en mais on pouvait le voir dès le vu que le rang d'un projecteur est égal à sa trace.
on a et donc
et on a et donc.
est injective et est surjective.
Soit un endomorphisme quelconque de vérifiant
je te laisse alors voir pourquoi l'endomorphisme est nul !
la traduction matricielle de ce fait s'écrit :
et tu conclus alors en remarquant que . sauf erreur de ma part bien entendu
Ce que je voulais t'indiquer (sans le faire à ta place), c'est que la restriction de à l'image du projecteur est un isomorphisme sur et que induit l'isomorphisme réciproque car est l'identité sur l'image du projecteur.
Alors, je vois bien que donne un isomorphisme de vers ( effectivement j'aurais dû le voir celui-là ... ) , mais par contre, je ne comprends pas pourquoi induirait l'isomorphisme réciproque ...
( bon évidemment en faisant abstraction des réponses au-dessus .. )
Je crois que ce qui me gêne le plus pour faire le lien entre et c'est le changement de dimension...
au départ est défini sur ,
lui est défini sur
Non, ça y est, j'ai vu le truc.....
Effectivement, f induit un isomorphisme de vers d'où l'existence d'un isomorphisme réciproque et comme est l'identité sur , cet isomorphisme réciproque est induit par g.
Bon, j'ai mis le temps ( un peu long à la comprenette ) , mais c'est venu ....
Merci beaucoup de ta patience GBZM.
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