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Rang et Spectre d'une matrice
Bonjour, je me pose une question à propos du lien entre le rang et le spectre d'une matrice.
On considère une matrice A dans Mn(R)
On sait que si rang(A)< n, alors 0 appartient au spectre de A, ce qui se justifie très rapidement :
rang(A)< n => det(A)=0 => le polynôme caractéristique n'a pas de terme constant, et est un multiple de X => 0 est une valeur propre de A
Mais peut-on dire que si rang(A)=n-i, alors 0 est racine du polynôme caractéristique à l'ordre i ? Et si oui, comment le justifier ?
Merci d'avance pour vos réponses
Non, pas tout à fait. Tu peux avoir une vue plus claire en écrivant la matrice de l'endomorphisme dans une base obtenue en complétant une base du noyau.
un exemple très simple peut te permettre de comprendre
cette matrice a 0 comme valeur propre triple
rang(A)=2=n-i= 3-1 et ton i est égal à
3 c'est la dimension du sous espace caractéristique (ici la multiplicité de la valeur propre 0 est
)
et non la dimension du sous espace propre (ici la dimension du noyau puisque
)
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