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Niveau seconde
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Rapport entre vecteur

Posté par
Ichan
24-04-18 à 15:04

Salut, je n'arrive pas à résoudre ce problème, je fais donc appel à vous. Le voici :

\vec{a} = 2\vec{u}+1/2\vec{v}.
\vec{b} = \vec{u} - 3\vec{v}.
\vec{c} = 3/2\vec{u} - \vec{v}.

Déterminer les x et y tels que \vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}.

Merci d'avance

Posté par
Priam
re : Rapport entre vecteur 24-04-18 à 15:17

Je te suggère de commencer par remplacer, dans la dernière égalité vectorielle, les vecteurs a, b et c par leurs expressions en fonction des vecteurs u et v.

Posté par
Ichan
re : Rapport entre vecteur 24-04-18 à 21:16

u et v sont des vecteurs

3/2u - v = x(2u +1/2v) - y(u - 3v).

Ensuite je ne vois comment je peux trouver les valeurs de x et y. Il faudrait pas une 2eme équation car il y a 2 inconnus ?

Posté par
Priam
re : Rapport entre vecteur 24-04-18 à 22:33

Non, celle-ci suffira.
Rassemble tous les termes au premier membre, puis mets en facteur le vecteur  u  et le vecteur  v .

Posté par
Ichan
re : Rapport entre vecteur 25-04-18 à 09:31

J'ai mis les termes dans un seul membre, ce qui donne :

u et v sont des vecteurs

3/2u - v - x(2u + 1/2v) - y(u-3v)
3/2u - v + x(-2u - 1/2v) + y(-u+3v)

Pour la factorisation, je n'y arrive pas. Pouvez-vous m'aider ? ☺

Posté par
Priam
re : Rapport entre vecteur 25-04-18 à 10:17

Tu as oublié " = 0 ". De plus, tu as fait une faute de signe à la 1ère ligne.
Après correction, développe les parenthèses, groupe les termes contenant le vecteur   u  et ceux contenant le vecteur  v , puis factorise.

Posté par
Ichan
re : Rapport entre vecteur 25-04-18 à 11:12

3/2u - v - x(2u + 1/2v) - y(u-3v) = 0.

Je ne vois pas la faute de signe.

Développement et factorisation : 3/2u-v -2u*x-1/2v*x - u*y+3v*y = 0
3/2u-2*u*x-u*y = v+1/2v*x-3v*y
u(3/2-2x-y) = v(1+1/2x-3y)

Ensuite, que dois-je ? Merci de votre aide

Posté par
Priam
re : Rapport entre vecteur 25-04-18 à 18:12

Tu as raison, il n'y avait pas de faute de signe, et l'égalité à laquelle tu aboutis est juste.
Maintenant, cette égalité doit être vérifiée quels que soient les vecteurs  u  et  v . Comment obtenir cela ?

Posté par
Ichan
re : Rapport entre vecteur 25-04-18 à 19:29

Salut, je ne sais pas. Je ne trouve pas comment faire, je compte sur vous.

Posté par
pseudodk
re : Rapport entre vecteur 25-04-18 à 19:40

Dans la base (\vec{u},\vec{v}), on a \vec{a}(2;1/2) , \vec{b}(1;-3) et \vec{c}(3/2;-1).
On a \vec{c}=x\vec{a}+y\vec{b} ; on obtient alors le systeme suivant:
\left\lbrace\begin{matrix}2x+y=\frac{3}{2} & \\\frac{1}{2} x-3y=-1 & \end{matrix}\right.  
qu'on peut résoudre

Posté par
Ichan
re : Rapport entre vecteur 25-04-18 à 20:52

J'ai pas compris, nous n'avons pas vu qu'est ce qu'une base.
Pouvez-vous résoudre cet exercice sans l'aide de base, merci beaucoup

Posté par
Priam
re : Rapport entre vecteur 25-04-18 à 22:55

L'égalité vectorielle de 11h12 ne peut être vérifiée pour tout vecteur  u  et tout vecteur  v  que si les coefficients respectifs de ces vecteurs sont tous deux nuls.
Cela donne un système de deux équations à deux inconnues (x et y), à résoudre.

Posté par
Ichan
re : Rapport entre vecteur 26-04-18 à 11:37

Priam @ 25-04-2018 à 22:55

L'égalité vectorielle de 11h12 ne peut être vérifiée pour tout vecteur  u  et tout vecteur  v  que si les coefficients respectifs de ces vecteurs sont tous deux nuls.
Cela donne un système de deux équations à deux inconnues (x et y), à résoudre.


Pourquoi les deux vecteurs doivent-être nuls, je ne comprend pas.

Posté par
Priam
re : Rapport entre vecteur 26-04-18 à 12:17

Ce n'est pas les vecteurs qui doivent être nuls, c'est leurs coefficients.

Posté par
Ichan
re : Rapport entre vecteur 26-04-18 à 12:54

-->   -2x-y = 1/2x-3y
          -2x-1/2x = y-3y
          -5/2x = -4y
            x = 8/5y
            y =5/8x

--> Je ne trouve pas la deuxième équation.  

Posté par
Priam
re : Rapport entre vecteur 26-04-18 à 17:59

Ce n'est pas clair.
Pourrais-tu écrire d'abord le système de deux équations à résoudre ?



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