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rationnel/irrationnel

Posté par basso (invité) 26-07-05 à 14:42

bonjour tout le monde,

voici un petit exercice sur les rationnels irrationnels pour lequel j'aurais besoin de votre aide :

Soit(m,n) \in \mathbb{N}^{*2}. Montrer que si \sqrt[n]{m} est rationnel, alors il est entier.

alors voilà comment je procède :
\sqrt[n]{m} est rationnel, donc il peut s'écrire sous la forme : \frac{p}{q} avec (p,q) \in \mathbb{N}^{*2}
d'où
mq^n=p^n

et j'ai un problème pour conclure ... est-ce que je peux dire :
p^n est un entier et de même pour q^n, on peut donc écrire :
p^n=a_1^{nb_1}a_2^{nb_2}... et q^n=c_1^{nd_1}c_2^{nd_2}... donc nécessairemment, si q^n=p^n alors m=1, sinon m possède une décomposition en facteurs premiers, donc m est un entier dans tous les cas.

?
alors ça suffit ou alors ça manque de rigueur ? peut-être même que c'est faux ?

merci de m'aider

Basso

Posté par
Nightmarere : rationnel/irrationnel 26-07-05 à 14:58

Bonjour

Voici comment j'aurais fait :

Supposons que 3$\rm \sqrt[n]{m} soit rationnel et non entier.

alors il existe un couple d'entier p et q premiers entre eux tels que :
3$\rm \sqrt[n]{m}=\frac{a}{b} (1) et de plus comme 3$\rm \sqrt[n]{m} n'est pas entier, 3$\rm \fbox{b>1} (2)

La relation (1) peut s'écrire :
3$\rm b^{n}m=a^{n}

on sait à présent que si p premier divise an alors p divise a.
On en conclut que 3$\rm a\wedge b=1\Rightarrow a^{n}\wedge b^{n}=1 sinon d'aprés la propriété que je viens d'énoncer un diviseur premier commun à an et bn serait un diviseur commun à a et b.
Comme 3$\rm a^{n}=mb^{n} d'aprés le théorème de Gauss 3$\rm a^{n}|m ce qui implique 3$\rm b^{n}=1 qui est absurde d'aprés (2).

Ab absurdum en en déduit que si 3$\rm \sqrt[n]{m} est rationnel alors il est entier


jord

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:rationnel/irrationnel 26-07-05 à 15:08

Bonjour basso;
en choisissant ta fraction \frac{p}{q} irréductible tu peux dire que p/m (Gauss) puis en écrivant que:
m=kp tu as kq^n=p^{n-1} donc de nouveau p/k (le cas n=1 étant trivial) de proche en proche on en déduit que p^{n}/m et donc que
m=kp^n=\frac{p^n}{q^n}\Longrightarrow k=\frac{1}{q^n}\Longrightarrow k=q=1\Longrightarrow \sqrt[n]{m}=p qui est donc bien un entier.
Voilà et espérons que c'est bien ça

Posté par basso (invité)re : rationnel/irrationnel 26-07-05 à 16:05

merci
et je me rends compte que dans ce que j'ai proposé je me suis un peu embrouillée, notamment en essayant de prouver que m est non sa racine nième est un entier ... enfin bon pas grave et merci beaucoup et

Posté par
Nightmarere : rationnel/irrationnel 26-07-05 à 16:08

De rien


Jord


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