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rayon de convergence

Posté par
loulouetlilou 18-03-20 à 17:36

Bonjour, je dois trouvais le rayon de convergence de la série
\sum_{n=1}^{\infty }{a_n x^n}
a_1=-1 \text{ et } a_n=-\log(1-\frac{1}{n})-\frac{1}{n} n\succeq 2
je ne sais pas du tout comment aborder le problème.. J'ai essayé de faire rentrer le \frac{1}{n}  dans le log mais ça ne me suffit pas; Je n'ai aucune idée.. Merci d'avance

Posté par
loulouetliloure : rayon de convergence 18-03-20 à 17:39

le dernier n n'appartient pas à la définition de a_n mais signale juste que c'est pour n supérieur à 2

Posté par
matheuxmatoure : rayon de convergence 18-03-20 à 17:41

bonjour

comment on procède usuellement pour déterminer le rayon de convergence d'une telle série ?

Posté par
loulouetliloure : rayon de convergence 18-03-20 à 17:44

Hadamard?

Posté par
matheuxmatoure : rayon de convergence 18-03-20 à 17:46

ou d'Alembert, à toi de voir !

Posté par
loulouetliloure : rayon de convergence 18-03-20 à 17:51

Le soucis c'est que je me retrouve avec un FI 0/0 ...

Posté par
matheuxmatoure : rayon de convergence 18-03-20 à 17:52

ah ben oui ! faut quand même ruser un peu pour faire sauter la forme indéterminée !

les DL cela te dit quelque chose ?

Posté par
verdurinre : rayon de convergence 18-03-20 à 18:40

Bonsoir,
on peut remarquer que -\ln(1-\frac1n)=\ln(1+\frac1{n-1})\

Posté par
matheuxmatoure : rayon de convergence 18-03-20 à 18:45

si on veut !

mais bon ...

-ln(1-1/n)-1/n = ... + o(1/n²)

Posté par
matheuxmatoure : rayon de convergence 18-03-20 à 18:48

ce serait bien que l'auteur participe un peu

Posté par
loulouetliloure : rayon de convergence 20-03-20 à 15:47

Rebonjour, merci de vos réponses,
-ln(1-1/n)-1/n =-(-1/n)-1/n + o(1/n²)=o(1/n²) ?
car ln(1-1/n)=-1/n +o(1/n²) ?

Posté par
XZ19re : rayon de convergence 20-03-20 à 16:22

Non  ce n'est pas  o(1n^2)   mais  ....

Posté par
XZ19re : rayon de convergence 20-03-20 à 16:23

o(1/n^2)   non    mais c'est ....

Posté par
loulouetliloure : rayon de convergence 20-03-20 à 16:56

Mon DL est correct ?

Posté par
XZ19re : rayon de convergence 20-03-20 à 17:14

Evidemment non. C'est quoi le DL de ln(1-x)  à l'ordre 2?  

Posté par
loulouetliloure : rayon de convergence 20-03-20 à 21:16

-x-x^2/2 +o(x^2) ?

Posté par
XZ19re : rayon de convergence 20-03-20 à 21:29

Et bien oui   et le terme en x^2  un rôle important dans la réponse.  

Posté par
loulouetliloure : rayon de convergence 20-03-20 à 21:37

Merci ! Je n'avais pas penser à aller jusque l'ordre 2.
Et c est vrai pour tout x que
ln(1-x)=-x-x^2/2+o(x^2) ?

Posté par
XZ19re : rayon de convergence 20-03-20 à 21:40

Surtout ne pas dire cela!!!!   Un développement limité est une notion locale, ici elle ne donne qu'un information locale..  
o(x^2)   signifie que  o(x^2)=x^2 \epsilon (x)   où  \epsilon (x)tend vers 0  quand x tend vers 0.  

Et ça ne dit rien de plus.  

Posté par
loulouetliloure : rayon de convergence 20-03-20 à 23:28

C'est bien ce qui me semblait mais du coup j ai du mal à voir la rédaction possible ?
Je peux dire par exemple que chercher la limite en +inf de ln(1-1/n) est equivalent à chercher la limite en +inf de -1/n-1/(2n^2)+o(n^-2) ?

Posté par
matheuxmatoure : rayon de convergence 20-03-20 à 23:32

m'enfin !

a_n = \dfrac{1}{n^2} + o(\dfrac{1}{n^2})

a_{n+1} = \dfrac{1}{(n+1)^2} + o(\dfrac{1}{n^2})

tu peux pas calculer la limite du rapport et en déduire le rayon de convergence ????

Posté par
matheuxmatoure : rayon de convergence 20-03-20 à 23:32

matheuxmatou @ 20-03-2020 à 23:32

pardon rectificatif

a_n = \dfrac{1}{2n^2} + o(\dfrac{1}{n^2})

a_{n+1} = \dfrac{1}{2(n+1)^2} + o(\dfrac{1}{n^2})

tu peux pas calculer la limite du rapport et en déduire le rayon de convergence ????

Posté par
loulouetliloure : rayon de convergence 21-03-20 à 00:18

Mais..... j'ai demandé à XZ19 si je pouvais remplacé sur IR(ou lN) ln(1-1/n) par -1/n-1/(2n^2)+o(n^-2)  et il m'a dit non car c'est local ?
Je n'ai pas du comprendre sa réponse ou il a dû mal interpréter ma question

Posté par
Ramanujanre : rayon de convergence 21-03-20 à 03:30

Votre erreur est une erreur de rédaction,  le "pour tout x"

Lorsqu'on fait un DL, on écrit "au voisinage de ..."

Un DL est valable au voisinage d'un point pas pour tout x.

Posté par
XZ19re : rayon de convergence 21-03-20 à 07:26

loulouetlilou @ 21-03-2020 à 00:18

Mais..... j'ai demandé à XZ19 si je pouvais remplacé sur IR(ou lN) ln(1-1/n) par -1/n-1/(2n^2)+o(n^-2)  et il m'a dit non car c'est local ?
Je n'ai pas du comprendre sa réponse ou il a dû mal interpréter ma question


Bonjour  
C'est important   tu comprennes   que ta question est mal posée.
Donc, d'une part je n'ai pas compris où  tu voulais en venir  et d'autre part  ce que tu  as  dit  est faux d'où   ma remarque  qui  reste valable.

Alors maintenant je peux ajouter:

Donc  on  a  au voisinage  de  0  (i.e  quand x tend  vers 0:  
-ln(1- x)-x =-(-x-x^2/2+o(x^2))-x=x^2/2+o(x^2)

Maintenant  si on pose  x=1/n,  alors quand  n  tend vers +\infty x tend vers  0,  donc on peut appliquer  l'identité  ci-dessus  

ce qui donne a_n=1/n^2+o(1/n^2)   (qd  n tend vers   +\infty)

Maintenant tu peux revenir  à ton problème en suivant l'indication de  @matheuxmatou.
    

Posté par
etniopalre : rayon de convergence 21-03-20 à 07:52

     En résumé :
      Les suites   a : n   -ln(1 - 1/n) - 1/n et  b : n 1/n²  sont à valeurs dans + *  et vérifient  a \sim b/2  donc les séries formelles  Sa :=  n>1  a(n)Xn  et  Sb :=n>0  b(n)Xn  ont même rayon (de convergence) .

Posté par
loulouetliloure : rayon de convergence 22-03-20 à 16:25

Oula j'ai presque honte de moi sur ce coup là !
évidemment
\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{-\ln(1-\frac{1}{n+1})-\frac{1}{(n+1)}}{-\ln(1-\frac{1}{n})-\frac{1}{(n)}}=\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{\frac{1}{2(n+1)²}}{\frac{1}{2n²}}=1

Posté par
matheuxmatoure : rayon de convergence 22-03-20 à 17:48

ben voilà


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