Bonsoir Yzz

L'initialisation est bien vraie parce que deux points sont toujours alignés (par deux points passe un et une seule droite)

L'erreur se trouve en partie dans l'hérédité qui n'est vraie que si n 3.

En effet, si on prend la démonstration telle quelle dans son hérédité, on a ceci :

"Les n premiers d'entre eux sont alignés" : cela signifie que le point A1 appartient à la droite formée par les points A2, A3, ... , An.

"ainsi que les n derniers" : cela signifie que An+1 appartient à la droite formée par les points A2, A3, ... , An.

Comme l'indice va de 2 à n, il faut au moins que n soit égal à 3 sinon il n'y aurait pas de droite formée par A2,...,An.

Donc ce théorème pourrait être vrai si on avait n 3.

Mais alors, l'initialisation serait fausse puisqu'elle signifierait que 3 points sont toujours alignés.

Par conséquent, ce raisonnement est faux.

Je viens de me relire...

Moralité :

Si n 2, l'initialisation est vraie mais l'héridté est fausse.

Si n 3, l'hérédité est vraie mais l'initialisation est fausse.

Donc le raisonnement est faux.

Merci Hiphigenie  
Mon problème était de situer l'endroit exacte de la faille.

Ta première réponse m'a quelque peu intrigué, commençant par :
"L'initialisation est bien vraie parce que (...)"
et finissant par :
"Mais alors, l'initialisation serait fausse puisqu'elle (...)"

Ta "moralité" ci-dessus me convient parfaitement.

Oui, j'ai souris en te lisant

Ce que j'ai voulu dire est que cette phrase est correcte (dans l'absolu) : "P(2) est vraie : 2 points quelconques sont toujours alignés.".

Ce qui signifie qu'en lisant la démonstration, on peut considérer que le début est correct.

C'est alors que cela se gâte puisque l'hérédité devient fausse comme je l'ai montré.

Maintenant, si on travaillait à l'envers et que l'on commence par une hérédité correcte (avec n 3), alors on constate que l'initalisation proposée n'est plus applicable.

Je remplacerais donc "initialisation fausse" par "initialisation inadaptée(?) à l'hérédité".

Je ne trouve pas le mot qui conviendrait parfaitement.

Si tu as une idée pour mettre cela au clair, fais m'en part.

Non, vraiment, ta "moralité" me semble absolument parfaite.
Cette phrase :
Les n premiers d'entre eux sont alignés, ainsi que les n derniers (car P(n) est vraie). Donc ces n+1 points sont alignés.
n'est absolument pas justifiée, sauf si dès le début on a cette propriété pour n3.

Donc :
Si n 2, l'initialisation est vraie mais l'héridité est fausse.
Si n 3, l'hérédité est vraie mais l'initialisation est fausse.

Oui, c'est cela.

Je dirais que si n 3, l'initialisation "P(2) est vraie" ne convient pas et par contre l'initalisation "P(3) est vraie" est ... fausse.